51nod 1556 计算

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本文解析了一道编号为1556的算法题，该题要求计算1*n矩阵中，首项为1且相邻项差不超过1的正整数序列方案数，并通过递推公式F(n)=3*F(n-1)-Mo(n-1)求解。

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【题目】

1556 计算

基准时间限制：1 秒空间限制：524288 KB 分值: 80 难度：5级算法题

有一个1*n的矩阵固定第一个数为1 其他填正整数且相邻数的差不能超过1 求方案数%1e9+7的结果

Input
一个数n 表示1*n的矩阵（n<=10^6）

Output
一个数表示方案数%1e9+7的结果

Input示例
3

Output示例
5

【分析】

听说这是Catalan数，但貌似无从下手的样子…
百度一发，发现了一个很神奇的东西叫做默慈金数
http://blog.youkuaiyun.com/acdreamers/article/details/41213667

这个东西是用来求：在一个二维坐标系中，从(0,0)出发，每次可以在x轴正方向上斜向上，斜向下或者直着向右走，但不能离开第一象限(x轴)，走n步最后回到x坐标轴上的方案数。

但这个题没有要求最后回到x坐标轴上，那怎么办…
用F(n)来表示答案，那么F(n)可以从F(n-1)递推而来。

1.考虑x坐标为n-1时y>0，那么有三种走法
2.y=0,只有两种走法，此时y=0的方案数为Mo(n-1)

得到递推式

$F(n)=3*F(n-1)-Mo(n-1)$

代码中Mo用g表示，下标提前了一位

【代码】

//51nod 1556 计算 
#include<cstdio>
#define ll long long
#define fo(i,j,k) for(i=j;i<=k;i++)
const int mod=1e9+7;
const int mxn=1000005;
int n,m;
ll M[mxn],f[mxn],inv[mxn];
int main()
{
    int i,j;
    scanf("%d",&n); 
    inv[1]=1,M[1]=1,M[2]=2,f[1]=1,f[2]=2;
    fo(i,2,n+2) inv[i]=(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
    fo(i,3,n) M[i]=(M[i-1]*(i+i+1)%mod+M[i-2]*(3*i-3)%mod)%mod*inv[i+2]%mod;
    fo(i,3,n) f[i]=((3*f[i-1]-M[i-2])%mod+mod)%mod;
    printf("%lld\n",f[n]);
    return 0;
}