51nod 1556 计算&&卡特兰数的扩展，HV格路径

51nod 1556 计算

有一个1*n的矩阵 固定第一个数为1 其他填正整数
且相邻数的差不能超过1 求方案数$\%(10^9+7)$的结果

1*n的矩阵。前后的绝对值差不超过1.

设 第i个数大小为

$$A_i$$

则有

$$A_i-A_{i-1}=0\ ,\ 1\ ,-1$$

那么。前后项做差，我们会得到一个序列。

这个序列仅仅由1，0，-1组成

（组合数学里面讲卡特兰数时是我第一次见+1，-1，组成序列的许多性质）

原问题等价于1，-1，0，组成的序列，任意前缀和不小于1的序列数量。

设 有 n个 $+1$ ，m个 $-1$组成的序列{$a_i$}

其中$n>=m$

则一个合法序列为 ：任意前缀和不小于0的序列。

即：

$$\sum_{i=1}^{k}a_i\geq0,其中 \ \ k\leq n+m$$

则合法序列的数量为：

$$\binom{n+m}{m}-\binom{n+m}{m-1}$$

上面的公式可以用于计算出来第n个卡特兰数

————————不喜欢看计算的可以跳过——————————–

不特别说明的话 ，下面都有

$$n>=m$$

细心观察，上面公式左边：

$$\binom{n+m}{m}$$

相当于，所有排列数量。（多重集合的排列。。。
其实 。右边：

$$\binom{n+m}{m-1}$$

相当于不合法序列的数量；
应用减法原理。便有这个公式。
对于第一部分。 n个+1与m个-1 组成的序列的所有排列情况数
我们只需要确定其中+1或者-1的位置，而另一种数字的位置也就随之确定了。

我们先让-1选择属于它的一些位置。-1选择位置 的 方案数量为：

$$\binom{n+m}{m}$$

公式的第二部分，不合法序列的数量：
为了便于理解。
我们来发掘一些不合法序列必有的特征：
首先。既然序列不合法。那么必然存在在某个位置 k，有：

$$\sum_{i=1}^ka_i<0$$

最小的那个 k 很重要

虽然不能描述整个序列的情况。

但它概述了一类这样不合法的序列。

即： $$在k位置第一次出现前缀和小于0（特征1部分，即前k个数）$$

注意：是第一次。

那么对于序列

$$a_1,a_2,....,a_k$$

这部分很特别。 我们说是特征。

通过把这k个数取反。我们得到了一个由

$$n+1个+1\\m-1个-1$$

组成的序列。对于这个序列，有：

$$k是第一次出现前缀和大于0的位置。（特征2部分，即前k个数）$$

这也就是说。n+1个+1，m-1个-1组成的序列，都可以通过取反特征2部分。

来变换出一个由 n个+1，m个-1组成的不合法序列。

同时 n个+1，m个-1组成的序列，也可以通过取反特征1部分。

来得到一个由n+1个+1，m-1个-1组成的序列。

综上，n个+1，m个-1组成的不合法序列的数量为,即为，n+1个+1，m-1个-1组成序列的数量： $$\binom{n+m}{m-1}$$

所以：n个+1，m个-1，n>=m组成任意前缀和不小于0的序列数量为：

$$\binom{n+m}{m}-\binom{n+m}{m-1}$$

———————————–计算结束————————————————

回到原问题：

对于 长度为 $x$的序列，只使用 $\pm1$，组成任意前缀和不小于0

的序列数量为 记为： $$S[x]$$

则有：

$$S[x]=\sum_{i=0}^{\lfloor \frac{x}{2}\rfloor} \big[\binom{x}{i}-\binom{x}{i-1}\big]\\ =\binom{x}{\lfloor \frac{x}{2} \rfloor}$$

因为第一个元素为1，在不考虑第一个元素，原问题等价于，任意前缀和不小于0.

序列的基本元素除了$x$个 $\pm1$之外，还有 0.

所以，枚举不同的$x$并添加 $(n-1-x)$个0，来得到答案。

这里之所以是n-1-x个0，是因为第一个位置固定为1，序列长度变为n-1，原问题变形为前缀和不小与0

综上有： $$answer=\sum_{x=0}^{n-1}\big (S[x]*\binom{n-1}{n-1-x}\big)\\ =\sum_{x=0}^{n-1}\big(\binom{x}{\lfloor\frac{x}{2}\rfloor}*\binom{n-1}{x}\big)$$

其中： $$\binom{0}{0}=1$$

下面是代码：

#include <algorithm>
#include <string.h>
#include <stdio.h>
#define MAXN 1000005
using namespace std;
typedef long long LL;
const LL P=1e9+7;
LL Ivn[MAXN]={0,1};
LL S[MAXN];

int main ()
{
    int n,sz=1;
    scanf("%d",&n);
    if(n==1)
    {
        printf("1\n");
        return 0;
    }
    sz+=n;
    for(int i=2;i<sz;i++)   Ivn[i]=P-P/i*Ivn[P%i]%P;
    S[0]=1;
    S[1]=1;
    S[2]=2;
    for(int i=3,j=4; i<sz;i+=2,j+=2)
    {
        S[i]=S[i-2];
        S[i]*=i;    S[i]%=P;
        S[i]*=i-1;  S[i]%=P;
        S[i]*=Ivn[((i-2)>>1)+1]; S[i]%=P;
        S[i]*=Ivn[((i-2)>>1)+2]; S[i]%=P;
        S[j]=S[j-2];
        S[j]*=j-1;  S[j]%=P;
        S[j]*=j;    S[j]%=P;
        S[j]*=Ivn[((j-2)>>1)+1]; S[j]%=P;
        S[j]*=Ivn[((j-2)>>1)+1]; S[j]%=P;
    }
    LL ans=0,C=1;
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        ans+=C*S[i]%P;
        if(ans>=P)ans-=P;
        C*=n-i-1;
        C%=P;
        C*=Ivn[i+1];
        C%=P;
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}