[LOJ 6034] 线段游戏

最新推荐文章于 2020-12-03 10:42:55 发布

C202044zxy

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分类专栏：线段树

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本文介绍了一种利用李超树解决线段树更新和查询问题的方法，通过维护区间中最佳线段来优化查询效率。适用于斜率在一定范围内变化的一次函数集合，并详细解释了其实现细节。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

一、题目

点此看题

二、解法

首先讲一种标枪的神奇方法，是错误的但是可以骗到 $80$ 分，我们在下传标记的时候因为无法合并，就把下层的标记再下传一层，那么就避免了合并（要重视这种乱搞的做法）

正解是李超树（内核就是标记永久化），每个点只维护 $m i d$ 处最大的线段，这样每个点的最大值都能被维护，因为这道题有两个重要的特点： $0<x_0<1e5$ ，一次函数式的线段具有某种单调性。

如果我们加入了新线段覆盖到了这个区间，由于我们维护的是 $m i d$ 处最好的线段，我们比较他们两个在 $m i d$ 处的情况。

如果新线段在 $m i d$ 处更好，那么旧线段就被踢掉了，但它并不是完全没用的。它最多在 $[l, m i d], [m i d + 1, r]$ 中的一个区间产生贡献，画图的话你就知道取决于旧线段的斜率，实现中我们只需要比较 $l$ 或 $r$ 处的点只就可以了。

如果还是旧线段在 $m i d$ 处更好，那么同样用上述方法处理新线段在下面的贡献。

现在你就知道为什么要取 $m i d$ 了，因为比较之后可以将区间砍成一半之后下传，虽然每个点维护的性质是有限的，但是这复杂度竟然如此有趣。时间复杂度 $O(n\log^2n)$

#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;
const int M = 100005;
const int up = 100000;
#define db double
int read()
{
	int x=0,f=1;char c;
	while((c=getchar())<'0' || c>'9') {if(c=='-') f=-1;}
	while(c>='0' && c<='9') {x=x*10+(c^48);c=getchar();}
	return x*f;
}
int n,m;
struct node
{
	db x1,y1,x2,y2;
	node() {x1=-1e6;x2=1e6;y1=y2=-1e7;}
	void in()
	{
		scanf("%lf %lf %lf %lf",&x1,&y1,&x2,&y2);
		if(x1>x2) swap(x1,x2),swap(y1,y2);//nmsl 操 
	}
	db ask(int x0)
	{
		if(x1==x2) return max(y1,y2);
		db k=1.0*(y1-y2)/(x1-x2);
		return y1+k*(x0-x1);
	}
}tr[4*M],tmp;
void ins(int i,int l,int r,node x)
{
	if(l>x.x2 || x.x1>r) return ;
	int mid=(l+r)>>1;
	if(x.x1<=l && r<=x.x2)
	{
		if(x.ask(mid)>tr[i].ask(mid))
		{
			if(tr[i].ask(l)>x.ask(l))//可能对左边产生贡献
				ins(i<<1,l,mid,tr[i]);
			if(tr[i].ask(r)>x.ask(r))
				ins(i<<1|1,mid+1,r,tr[i]);
			tr[i]=x;
		}
		else
		{
			if(tr[i].ask(l)<x.ask(l))
				ins(i<<1,l,mid,x);
			if(tr[i].ask(r)<x.ask(r))
				ins(i<<1|1,mid+1,r,x);
		}
		return ;
	}
	if(x.x1<=mid) ins(i<<1,l,mid,x);
	if(x.x2>mid) ins(i<<1|1,mid+1,r,x);
}
db query(int i,int l,int r,int x)
{
	db t=tr[i].ask(x);
	if(l==r) return t;
	int mid=(l+r)>>1;
	if(mid>=x) return max(query(i<<1,l,mid,x),t);
	return max(query(i<<1|1,mid+1,r,x),t);
}
int main()
{
	//freopen("game.in","r",stdin);
	//freopen("game.out","w",stdout);
	n=read();m=read();
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		tmp.in();
		ins(1,1,up,tmp);
	}
	while(m--)
	{
		int op=read();
		if(op==0)
		{
			tmp.in();
			ins(1,1,up,tmp);
		}
		else
		{
			int x0=read();db t=query(1,1,up,x0);
			if(t==-1e7) puts("0");
			else printf("%.6lf\n",t);
		}
	}
}