[JSOI2018]列队

一、题目

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二、解法

因为最优解的路径两两不交，所以一定是有一些学生向左跑，一些学生向右跑。

首先有一个显然的思路，可以先二分答案，我们要使得刚好左边的人能填满左边的位置，那么答案就是左边的人跑到左边（假设$t$人），右边的人跑到右边（下文的$a$要用主席树维护）：
$$\sum _{i=1}^{t}k+i-1-\sum a_{left}+\sum a_{right}-\sum _{i=t+1}^{k}k+i-1$$这样做的时间复杂度是$O(n{\log }^{2}n)$，受到[省选联考 2020 A/B 卷] 冰火战士的启发，我们可以考虑主席树上二分做到$O(n\log n)$（用主席树是因为保留$[l,r]$的编号需要用它来差分），我们考虑一个位置区间$[l,r]$，也就是当一个区间全部往右跑或者往左跑的时候返回，否者继续递归，因为分界点只有一个，所以递归下去的两部分有一部分会直接结束。

那么怎么判断一个区间里的人是否能全部走左或者走右呢？假设前面已经填了$f$个位置，那么如果$k+f\le l$的话说明所有人都要往左跑，如果$k+f+sz-1\ge r$就说明所有人要往右跑（$sz$是人的个数）

代码出奇的短。

#include <cstdio>
const int M = 500005;
const int N = 25*M;
const int up = 1000000;
#define ll long long
int read()
{
	int x=0,flag=1;char c;
	while((c=getchar())<'0' || c>'9') if(c=='-') flag=-1;
	while(c>='0' && c<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48),c=getchar();
	return x*flag;
}
int n,m,cnt,rt[M],ls[N],rs[N],siz[N];ll sum[N];
int upd(int y,int l,int r,int id)
{
	int x=++cnt;
	ls[x]=ls[y];rs[x]=rs[y];
	siz[x]=siz[y];sum[x]=sum[y];
	siz[x]++;sum[x]+=id;
	if(l==r) return x;
	int mid=(l+r)>>1;
	if(mid>=id) ls[x]=upd(ls[x],l,mid,id);
	else rs[x]=upd(rs[x],mid+1,r,id);
	return x;
}
ll ask(int x,int y,int l,int r,int f,int k)
{
	if(!(siz[x]-siz[y])) return 0;
	ll sz=siz[x]-siz[y],sm=sum[x]-sum[y];
	if(l>=k+f) return sm-(2*f+2*k+sz-1)*sz/2;
	if(r<=k+f+sz-1) return (2*f+2*k+sz-1)*sz/2-sm;
	int mid=(l+r)>>1,t=siz[ls[x]]-siz[ls[y]];
	return ask(ls[x],ls[y],l,mid,f,k)+ask(rs[x],rs[y],mid+1,r,f+t,k);
}
signed main()
{
	n=read();m=read();
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		int x=read();
		rt[i]=upd(rt[i-1],1,up,x);
	}
	while(m--)
	{
		int l=read(),r=read(),k=read();
		printf("%lld\n",ask(rt[r],rt[l-1],1,up,0,k));
	}
}