恋日-优快云博客

原创 A.2非线性动态系统

概念考虑初始系统的微分方程是非线性，其标准形式为x˙=f(t,x,u)y=h(t,x,u)(1)\begin{array}{l}\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}(t, \mathbf{x}, \mathbf{u}) \\\mathbf{y}=\mathbf{h}(t, \mathbf{x}, \mathbf{u})\end{array}\tag{1}x˙=f(t,x,u)y=h(t,x,u)(1)只有很少的一部分系统具有已知的解析解。设有一名义参考轨迹(xN)\l

2020-06-04 10:59:06 1397 1

原创 Quaternion based Kalman Filter for attitude estimation

1.系统模型1.1 陀螺模型ω∗=ω+b+ηωb˙=ηb(1)\begin{aligned}\boldsymbol{\omega^{*}} &=\boldsymbol{\omega}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{\eta_{\omega}}\\ \boldsymbol{\dot{b}}&=\boldsymbol{\eta_{b}}\end{ali...

2020-04-06 23:24:25 296

原创 Modified Rodrigues Parameters Kalman Filter

1.系统模型1.1 陀螺模型ω∗=ω+b+ηωb˙=ηb(1)\begin{aligned}\boldsymbol{\omega^{*}} &=\boldsymbol{\omega}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{\eta_{\omega}}\\ \boldsymbol{\dot{b}}&=\boldsymbol{\eta_{b}}\end{ali...

2020-03-30 22:51:53 722

原创 State Estimation and Localization for Self-Driving Cars 第五周作业组合导航

本文采用(GNSS+IMU+LIDAR)的组合导航方案实现车辆的导航。这里采用松耦合的导航方式，即通过对GNSS和LIDAR的测量数据进行预处理以直接获取车辆的位置，方案图如下：1 系统模型汽车的运动状态包括位置，速度和姿态xk=[pkvkqk]∈R10\mathbf{x}_{k}=\left[\begin{array}{c}\mathbf{p}_{k} \\\mathbf{v...

2020-03-27 18:17:29 700 1

原创 State Estimation and Localization for Self-Driving Cars 第四周作业利用点云进行平面拟合

1.平面拟合算法三维平面方程为z=ax+by+cz=ax+by+cz=ax+by+c。希望通过LIDAR测得的多组(x,y,z)(x,y,z)(x,y,z)来拟合(a,b,c)(a,b,c)(a,b,c)。测量误差为ej=z^j−zj=(a^+b^xj+c^yj)−zjj=1…n\begin{aligned}e_{j} &=\hat{z}_{j}-z_{j} \\&=...

2020-03-27 13:27:35 398

原创 State Estimation and Localization for Self-Driving Cars 第二周作业 EKF练习

1.运动和测量模型1.1汽车运动模型xk=xk−1+T[cos⁡θk−10sin⁡θk−1001]([vkωk]+wk),wk=N(0,Q)\mathbf{x}_{k}=\mathbf{x}_{k-1}+T\left[\begin{array}{cc}\cos \theta_{k-1} & 0 \\\sin \theta_{k-1} & 0 \\0 & 1\en...

2020-03-26 17:24:22 550

原创非线性函数的协方差传播

观测值线性函数的方差设有观测值Xn1\mathop{X}\limits_{n1}n1X的非线性函数Z=f(X)Z=f(X)Z=f(X)或写成Z=f(X1,X2,⋯ ,Xn)Z=f\left(X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}\right)Z=f(X1,X2,⋯,Xn)已知XXX的协方差矩阵DxxD_{xx}Dxx,欲求Z的协方差DzzD_{zz}Dzz...

2020-03-24 14:52:02 2078

原创刚体有限转动的交换定理

在参考空间做定坐标系OxyzOxyzOxyz,同时有动坐标系Ox′y′z′Ox^{\prime}y^{\prime}z^{\prime}Ox′y′z′。空间中有一个向量r\boldsymbol{r}r，在两个坐标系下的分量满足如下公式r′=A1rr^{\prime}=A_{1}rr′=A1r其中A1A_{1}A1称为OxyzOxyzOxyz到Ox′y′z′Ox^{\prime}y^{\pr...

2020-03-23 18:02:31 1430

原创椭圆积分函数和雅各比椭圆函数

椭圆积分函数函数u=F(φ,k)=∫0φdx1−k2sin⁡2x=∫0sinφdx(1−t2)(1−kt2)u=F(\varphi, k)=\int_{0}^{\varphi} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{1-k^{2} \sin ^{2} x}}=\int_{0}^{sin{\varphi} }\frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{(1-t^{2})(...

2020-03-13 14:32:54 8850 2

原创欧拉-潘索运动

两个椭球无力矩状态下的刚体绕质心的惯性运动被称为欧拉情形。根据动量守恒和能量守恒定律，相对质心OOO的角动量模长以及动能均为常数，即ω⋅J⋅ω=2T=const(J⋅ω)2=L2=const(1)\begin{aligned}\boldsymbol{\omega} \cdot \boldsymbol{J} \cdot \boldsymbol{\omega} &=2 T=\mathrm...

2020-03-12 16:04:37 1636 1

原创刚体的质量几何

系统对轴的惯性矩设PνP_{\nu}Pν点到某个轴uuu的距离等于ρν\rho_{\nu}ρν,称Ju=∑ν=1Nmνρν2(1)J_{u}=\sum_{\nu=1}^{N} m_{\nu} \rho_{\nu}^{2}{\tag1}Ju=ν=1∑Nmνρν2(1)是系统相对于uuu的惯性矩。可见，当系统为刚体时，系统对于相对刚体固定的轴的惯性矩是固定的，不随坐标系的选取...

2020-03-11 16:32:18 1259

原创质点系的角动量与角动量定理

质点系的角动量考察由nnn个质点组成的质点系，设质点系中质点PiP_iPi的质量为mim_{i}mi，相对于惯性坐标系原点OOO点的矢径为ri\boldsymbol{r}_{i}ri，速度为vi=dri/dt\boldsymbol{v}_{i}=\mathrm{d} \boldsymbol{r}_{i} / \mathrm{d} tvi=dri/dt，则质点系对点OOO的角动量为定义为...

2020-03-06 02:03:14 8248

原创无外力矩情况下的刚体旋转

如果系统不受外力矩，则总角动量是常数，刚体的旋转动能也是常数。把角动量矢量H\boldsymbol{H}H按照本体组坐标系B\mathcal{B}B进行展开H=BH=H1b^1+H2b^2+H3b^3(1)\boldsymbol{H}=^{\mathcal{B}} \boldsymbol{H}=H_{1} \hat{\boldsymbol{b}}_{1}+H_{2} \hat{\boldsym...

2020-02-29 03:36:52 1165

原创 B.无量纲化

0.引言要想无量纲化一个方程，必须先确定方程涉及到的基本量纲。Buckingham π\piπ定理表明，无量纲参数个数=有参数个数−基本量纲无量纲参数个数=有参数个数-基本量纲无量纲参数个数=有参数个数−基本量纲1.例子下面用单摆问题作为例子来说明:mlθ¨+clθ˙+mgsin⁡θ=F0cos⁡ωt(1)m l \ddot{\theta}+c l \dot{\theta}+m g \sin \theta=F_{0} \cos \omega t\tag{1}mlθ¨+clθ˙+mgsinθ=

2020-06-18 22:26:32 4568 2

原创 A.虚数

定义虚单位iii是满足方程z2+1=0z^2+1=0z2+1=0的两个根之一。(另一个根是−i-i−i)。通常写为i=−1i=\sqrt{-1}i=−1。复数zzz和其复共轭zˉ\bar zzˉ被写为z=x+iy,zˉ=x−iyz=x+i y, \quad \bar{z}=x-i yz=x+iy,zˉ=x−iy其中x,yx,yx,y是实数。xxx被称为实部，yyy是虚部，并记为：x=Re⁡z,y=Im⁡zx=\operatorname{Re} z, \quad y=\operatorname{I

2020-06-18 21:14:49 299

原创 7.相图

0. 引言由两个关于x1x_1x1,x2x_2x2的一阶微分方程组成的微分方程系统能用相图进行可视化表示。其中，xxx轴代表x1x_1x1，yyy轴代表x2x_2x2。相图上的每一条曲线对应于一个不同的初始条件，也可以被视为一个位于(x1x_1x1,x2x_2x2)的点以(x˙1,x˙2)\left(\dot{x}_{1}, \dot{x}_{2}\right)(x˙1,x˙2)的速度运动的轨迹。对于2乘2的系统x˙=Ax\dot{\mathrm{x}}=\mathrm{Ax}x

2020-06-18 13:11:57 5110 1

原创 6.微分方程系统

0.引言本节解决一个耦合的常系数齐次一阶微分方程系统。这个微分方程系统能写成矩阵形式，并把方程转化为标准的矩阵代数特征值问题。其中，二维系统的解可以用相图进行可视化。1.齐次线性一阶微分方程系统考虑如下方程x˙1=ax1+bx2,x˙2=cx1+dx2\dot{x}_{1}=a x_{1}+b x_{2}, \quad \dot{x}_{2}=c x_{1}+d x_{2}x˙1=ax1+bx2,x˙2=cx1+dx2可以写成矩阵形式ddt(x1x2)=(abcd)(x1x2)\fra

2020-06-18 10:58:41 670

原创 6.幂级数解

一个例子求方程y′′+y=0y^{\prime \prime}+y=0y′′+y=0的通解。设方程的解为如下幂级数形式y(x)=∑n=0∞anxn(1)y(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}\tag{1}y(x)=n=0∑∞anxn(1)代入方程，得∑n=2∞n(n−1)anxn−2+∑n=0∞anxn=0(2)\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_{n} x^{n-2}+\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}=0

2020-06-17 22:55:47 1067

原创 5.拉普拉斯变换

0.引言拉普拉斯变换可以处理常系数ode当非齐次项为非连续或者脉冲函数的情形。1.定义函数f(x)f(x)f(x)的拉普拉斯变换F(s)=L{f(t)}F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}F(s)=L{f(t)}按照以下积分进行定义：F(s)=∫0∞e−stf(t)dt(1)F(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t} f(t) d t\tag{1}F(s)=∫0∞e−stf(t)dt(1)式中，sss的值需使以上积分收敛。拉普拉斯变换是一个线性变换(

2020-06-17 22:22:01 4716

原创 4.谐振

1.概念外部频率与自然频率相等时的一种运动情况。2.举例说明考虑如下非齐次线性二阶ODEx¨+ω02x=fcos⁡ωt,x(0)=0,x˙(0)=0(1)\ddot{x}+\omega_{0}^{2} x=f \cos \omega t, \quad x(0)=0, \dot{x}(0)=0\tag{1}x¨+ω02x=fcosωt,x(0)=0,x˙(0)=0(1)并研究当ω→ω0\omega \rightarrow \omega_{0}ω→ω0时解的情况。其通解为x(t)=c1cos

2020-06-17 15:35:36 301

原创 3 非齐次线性微分方程与无量纲化

0.引言本节研究常系数二阶线性方程右边加入非齐次项的情况。非齐次项包括指数函数，三角函数或多项式函数的情况。1.求解步骤对于非齐次线性二阶ODEx¨+p(t)x˙+q(t)x=g(t)(1)\ddot{x}+p(t) \dot{x}+q(t) x=g(t)\tag{1}x¨+p(t)x˙+q(t)x=g(t)(1)g(t)≠0g(t)\neq 0g(t)=0，其求解分3步求对应齐次方程通解xh(t)=c1x1(t)+c2x2(t)x_{h}(t)=c_{1} x_{1}(t)+c_{

2020-06-17 13:33:12 4594

原创 2.齐次线性微分方程

0.引言本节关于二阶微分方程，首先泛化欧拉方法到二阶。其次介绍了两个定理，叠加定理和Wronskian定理。1.欧拉方法用于高阶微分方程对于二阶微分方程:x¨=f(t,x,x˙)\ddot{x}=f(t, x, \dot{x})x¨=f(t,x,x˙)求解方法是化为一组一阶微分方程x˙=u(1)\dot{x}=u\tag{1}x˙=u(1)u˙=f(t,x,u)(2)\dot{u}=f(t, x, u)\tag{2}u˙=f(t,x,u)(2)其中u=x˙u=\dot{x}u=x˙。

2020-06-17 11:35:40 2128

原创 1.一阶微分方程

1.数值方法1.1 欧拉方法一阶微分方程dy/dx=f(x,y)(1)d y / d x=f(x, y)\tag{1}dy/dx=f(x,y)(1)以及初值y(x0)=y0y\left(x_{0}\right)=y_{0}y(x0)=y0给定了函数y(x)y(x)y(x)在初值点(x0,y0)(x_0,y_0)(x0,y0)的切线斜率f(x0,y0)f(x_0,y_0)f(x0,y0)。以该初值为起点，以切线为方向，按照某步长Δx=x1−x0\Delta x=x_1-x_0Δx=x1

2020-06-15 21:32:07 2334

原创 0.引言

微分方程是关于某函数的方程，包括了该函数及其导数。其求解对象是某函数。常微分方程是关于单变量函数的方程。偏微分方程是关于多变量函数的方程。线性微分方程是指待求解的函数及其各阶...

2020-06-15 10:35:37 203

原创 A.3 参数微分法

对于系统x˙=f(t,x,p)(1)\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}(t, \mathbf{x}, \mathbf{p})\tag{1}x˙=f(t,x,p)(1)式中p=[p1p2⋯pq]T(2)\mathbf{p}=\left[p_{1} p_{2} \cdots p_{q}\right]^{T}\tag{2}p=[p1p2⋯pq]T(2)是常数参数。在许多情况下，式(1)的初值x(t0)x(t_0)x(t0)以及p\mathbf{p}p都是不知道的，需要利用

2020-06-05 00:08:14 1486

原创 6.4定轨

其本质是利用非线性最小二乘法来进行迭代求解。利用多个时间点的测量来求取轨道初值。因此重点就是要求各个时间点的测量对于轨道初值的导数。根据链式法则，这一导数又被分成两部分，即各时间点的测量值对于测量时间点的轨道的雅各比矩阵，以及测量时间点的轨道对于初始轨道的雅各比矩阵。前者是测量雅各比，后者即状态转移矩阵。即Hk=∂hk∂xkΦ(tk,t0)(1)H_k=\frac{\partial \mathbf{h}_k}{\partial \mathbf{x}_k} \Phi\left(t_k, t_{0}\ri

2020-06-04 17:48:43 681 3

yahhqy的博客