7.相图

0. 引言

  由两个关于$x_1$,$x_2$的一阶微分方程组成的微分方程系统能用相图进行可视化表示。其中，$x$轴代表$x_1$，$y$轴代表$x_2$。相图上的每一条曲线对应于一个不同的初始条件，也可以被视为一个位于($x_1$,$x_2$)的点以$\left({\dot{x}}_1,{\dot{x}}_2\right)$的速度运动的轨迹。
  对于2乘2的系统$\dot{\mathrm{x}}=\mathrm{A}\mathrm{x}$，点$x=(0,0)$被称为平衡点或不动点。因为如果$x$在初始时刻位于平衡点，则会一直处于平衡点。平衡点的稳定性与特征方程的特征值有关，决定了相图的走势。
  对于有两个相异实特征值的情况：当特征值的正负号相同，则平衡点为结点。同为负，则平衡点被称为稳定结点。同为正，则被称为不稳定结点。一正一负，则平衡点被称为鞍点。
  如果特征值是共轭复数，则平衡点被称为螺旋。如果特征值的实部是负数，则解会呈指数衰减，平衡点是稳定螺旋。如果特征值的实部是正数，则解会呈指数增长，平衡点是不稳定螺旋。

1.结点

  考察系统
$${\dot{x}}_1=-3x_1+\sqrt{2}{x}_2,{\dot{x}}_2=\sqrt{2}{x}_1-2x_2$$

特征值和特征向量为
$${\lambda }_1=-4,{\mathrm{v}}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ -\sqrt{2}/2\end{array}\right);{\lambda }_2=-1,{\mathrm{v}}_2=\left(\begin{array}{c}1\\ \sqrt{2}\end{array}\right)$$
则通解可以写成
$$\mathbf{x}(t)=c_1{v}_1{e}^{{\lambda }_{1}t}+c_2{v}_2{e}^{{\lambda }_{2}t}$$

因为${\lambda }_1<0$，${\lambda }_2<0$，则解会随着时间衰减，并且当$t\to \infty$时衰减到平衡点$x\to (0,0)$。这就是为什么说结点是稳定的。(同理，当特征值都大于0时，结点不稳定。)
  当$c_2=0$时，解$x(t)$是标量函数乘以特征向量$v_1$。由于解永远和$v_1$成比例，因此当$c_2=0$时解的轨迹肯定在直线$x_2=-\sqrt{2x_1/2}$，且箭头指向平衡点。同理，当$c_1=0$时，解的轨迹肯定在直线$x_1=\sqrt{2x_1/2}$，箭头指向平衡点。方程的解可以看成以上两个解的线性组合。
  由于$\left|{\lambda }_1\right|>\left|{\lambda }_2\right|$，因此在$v_1$方向的衰减快。反应到相图里，就是轨迹沿着$v_2$方向接近平衡点。(因为$v_1$方向早已经衰减没了)

2. 鞍点

  对于系统
$${\dot{x}}_1=x_1+x_2,{\dot{x}}_2=4x_1+x_2$$

其特征值和特征向量为
$${\lambda }_1=-1,{\mathrm{v}}_1=\left(\begin{array}{r}1\\ -2\end{array}\right);{\lambda }_2=3,{\mathrm{v}}_2=\left(\begin{array}{l}1\\ 2\end{array}\right)$$

通解为$$\mathbf{x}(t)=c_1{\mathrm{v}}_1{e}^{{\lambda }_{1}t}+c_2{\mathrm{v}}_2{e}^{{\lambda }_{2}t}$$  因为${\lambda }_1<0$，在第一个特征向量$v_1$方向上轨迹指向平衡点，${\lambda }_2>0$，在第二个特征向量$v_2$方向上轨迹远离平衡点。因此除了沿着$v_1$的轨迹，其它轨迹都随着时间$t\to \infty$有$|x(t)|\to \infty$。因此这个鞍点是不稳定鞍点：

3.螺旋点

  对于系统
$${\dot{x}}_1=-\frac{1}{2}{x}_1+x_2,{\dot{x}}_2=-x_1-\frac{1}{2}{x}_2\text{\hspace{1em}(1)}$$
  其特征值为复数
$$\lambda =-\frac{1}{2}+i,\mathrm{v}=\left(\begin{array}{l}1\\ i\end{array}\right)$$与其复共轭。其通解为
$$\mathbf{x}(t)=e^{-t/2}\left[A\left(\begin{array}{r}\cos t\\ -\sin t\end{array}\right)+B\left(\begin{array}{c}\sin t\\ \cos t\end{array}\right)\right]$$
其轨迹是以平衡点为中心的螺旋。如果Re⁡{λ}<0\operatorname{Re}\{\lambda\}<0Re{λ}<0，则螺旋向平衡点旋。如果Re⁡{λ}>0\operatorname{Re}\{\lambda\}>0Re{λ}>0，则螺旋由平衡点向外旋。
(注：如果不考虑前面的指数项，则轨迹是个圆。）
  螺旋是顺时针还是逆时针可以根据式(1)计算点$(x_1,x_2)$处的导数来判断。例如本题中选择$(x_1,x_2)=(0,1)$，则由式(1)知相图中该点的导数为$\left({\dot{x}}_1,{\dot{x}}_2\right)=(1,-1/2)$，说明该点要朝其右下方运动，因此是顺时针。

4.耦合震荡(两个二阶方程组成的系统)（略）

求解如下微分方程
$$m\frac{d^2}{d{t}^2}\left(\begin{array}{l}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-(k+K)& K\\ K& -(k+K)\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)$$

要用到normal modes的知识