微分方程数值解法精要-优快云博客

1.数值方法

1.1 欧拉方法

一阶微分方程 $y)\tag{1}$

以及初值 $y(x0)=y0y\left(x_{0}\right)=y_{0}$ 给定了函数 $y (x)$ 在初值点 $x_0,y_0)$ 的切线斜率 $f(x_0,y_0)$ 。以该初值为起点，以切线为方向，按照某步长 $Δx=x1−x0\Delta x=x_1-x_0$ 变化到新点 $x_1,y_1）$ 。这就是欧拉方法，用公式表述为式(1):
$y1=y0+Δxf(x0,y0)(2)y_{1}=y_{0}+\Delta x f\left(x_{0}, y_{0}\right)\tag{2}$

1.2 龙格库塔方法

欧拉方法也别称为一阶龙格库塔法。
二阶龙格库塔法的通式为：
$k1=Δxf(xn,yn),k2=Δxf(xn+αΔx,yn+βk1),yn+1=yn+ak1+bk2(3)k_{1}=\Delta x f\left(x_{n}, y_{n}\right), \quad k_{2}=\Delta x f\left(x_{n}+\alpha \Delta x, y_{n}+\beta k_{1}\right), \quad y_{n+1}=y_{n}+a k_{1}+b k_{2}\tag{3}$

并满足

$a+b=1，αb=βb=1/2(4)a+b=1，\alpha b=\beta b=1 / 2\tag{4}$

2. 可分离变量的一阶方程

可分离变量的一阶方程可写为
$\frac{d y}{d x}=f(x), \quad y\left(x_{0}\right)=y_{0}\tag{5}$

两边从 $x_0$ 到 $x_1$ 进行积分， $∫x0xg(y(x))y′(x)dx=∫x0xf(x)dx(6)\int_{x_{0}}^{x} g(y(x)) y^{\prime}(x) d x=\int_{x_{0}}^{x} f(x) d x\tag{6}$

进行变量替换 $u=y^{\prime}(x) d x$ ，并改变积分上下限为 $y(x0)=y0y\left(x_{0}\right)=y_{0}$ 和 $y (x) = y$ 。因此有 $∫y0yg(u)du=∫x0xf(x)dx(7)\int_{y_{0}}^{y} g(u) d u=\int_{x_{0}}^{x} f(x) d x\tag{7}$

3. 一阶线性微分方程

形如 $dydx+p(x)y=g(x),y(x0)=y0(8)\frac{d y}{d x}+p(x) y=g(x), \quad y\left(x_{0}\right)=y_{0}\tag{8}$

的方程。微分方程的求解借助于名为积分因子的函数 $μ(x)\mu(x)$ 的求解。积分因子是这样一个函数，它乘以式(8)后得到的式子为
$μ(x)[dydx+p(x)y]=μ(x)g(x)(8)\mu(x)\left[\frac{d y}{d x}+p(x) y\right]=\mu(x) g(x)\tag{8}$

而该式左边等于一个积分
$μ(x)[dydx+p(x)y]=ddx[μ(x)y](9)\mu(x)\left[\frac{d y}{d x}+p(x) y\right]=\frac{d}{d x}[\mu(x) y]\tag{9}$

由 $ddx[μ(x)y]=μ(x)g(x)\frac{d}{d x}[\mu(x) y]=\mu(x) g(x)$ ，利用初值 $y(x0)=y0y\left(x_{0}\right)=y_{0}$ 并令 $μ(x0)=1\mu\left(x_{0}\right)=1$ ，可得 $μ(x)y−y0=∫x0xμ(x)g(x)dx\mu(x) y-y_{0}=\int_{x_{0}}^{x} \mu(x) g(x) d x$ ，求得：
$y(x)=1μ(x)(y0+∫x0xμ(x)g(x)dx)(10)y(x)=\frac{1}{\mu(x)}\left(y_{0}+\int_{x_{0}}^{x} \mu(x) g(x) d x\right)\tag{10}$