刚体的质量几何

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系统对轴的惯性矩

设 $PνP_{\nu}$ 点到某个轴 $u$ 的距离等于 $ρν\rho_{\nu}$ ,称
$Ju=∑ν=1Nmνρν2(1)J_{u}=\sum_{\nu=1}^{N} m_{\nu} \rho_{\nu}^{2}{\tag1}$

是系统相对于 $u$ 的惯性矩。可见，当系统为刚体时，系统对于 相对刚体固定的轴 的惯性矩是固定的，不随坐标系的选取而改变。

（图1）

坐标表示

为了进一步量化分析，下面引入坐标系。假定 $O$ 为刚体内的确定点， $O x y z$ 是固联在刚体上的坐标系。轴 $u$ 经过原点，其与 $O x$ , $O y$ , $O z$ 轴夹角的余弦分别为 $α\alpha$ , $β\beta$ , $γ\gamma$ ,如图(1)所示。于是
$Ju=∑ν=1Nmνρν2=∑ν=1Nmν[(xν2+yν2+zν2)−(xνα+yνβ+zνγ)2]J_{u}=\sum_{\nu=1}^{N} m_{\nu} \rho_{\nu}^{2}=\sum_{\nu=1}^{N} m_{\nu}\left[\left(x_{\nu}^{2}+y_{\nu}^{2}+z_{\nu}^{2}\right)-\left(x_{\nu} \alpha+y_{\nu} \beta+z_{\nu} \gamma\right)^{2}\right]$

经过整理，得
$Ju=Jxα2+Jyβ2+Jzγ2−2Jxyαβ−2Jxzαγ−2Jyzβγ(2)J_{u}=J_{x} \alpha^{2}+J_{y} \beta^{2}+J_{z} \gamma^{2}-2 J_{x y} \alpha \beta-2 J_{x z} \alpha \gamma-2 J_{y z} \beta \gamma{\tag2}$

其中引入了下面的记号
$Jx=∑ν=1Nmν(yν2+zν2),Jy=∑ν=1Nmν(zν2+xν2),Jz=∑ν=1Nmν(xν2+yν2)J_{x}=\sum_{\nu=1}^{N} m_{\nu}\left(y_{\nu}^{2}+z_{\nu}^{2}\right), \quad J_{y}=\sum_{\nu=1}^{N} m_{\nu}\left(z_{\nu}^{2}+x_{\nu}^{2}\right), \quad J_{z}=\sum_{\nu=1}^{N} m_{\nu}\left(x_{\nu}^{2}+y_{\nu}^{2}\right)$

$(3){\tag3}$

显然(2)和(3)不依赖于轴 $u$ 的选择。(2)中各量称为轴惯性矩（也称对轴的转动惯量）。 $J_{x}$ 是对 $O x$ 轴的惯性矩，以此类推。(3)中各量称为离心惯性矩(也称惯量积)。轴惯性矩是系统绕相应轴转动时的惯性度量，离心惯性矩可以理解为系统质量非平衡性的度量，它们描述系统相对坐标平面质量分布的非对称性。
轴惯性矩和离心惯性矩对于不同的点 $O$ 是不同的。当坐标系绕同一点 $O$ 变化时，它们也会改变。

惯量椭球

惯量椭球是表征刚体相对某个点质量分布的物理量。
假定 $O$ 是刚体内的确定点。对任意过点 $O$ 的任意轴 $u$ ,在其轴上都有点 $N$ ,使得 $O N$ 的距离与对 $u$ 的惯性矩的平方根成反比，即
$\sqrt{J_{u}}{\tag4}$

改变 $u$ 的方向，则对应的 $O N$ 和 $Ju\sqrt{J_{u}}$ 随之改变。由各个方向上 $N$ 点在空间中形成会形成封闭曲面。这一封闭曲面与刚体相固联的，其形状与坐标系的选择无关。

坐标表示

为了进一步分析该曲面，下面引入坐标系。和上文一样，假定 $O$ 为刚体内的确定点， $O x y z$ 是固联在刚体上的坐标系。轴 $u$ 经过原点，其与 $O x$ , $O y$ , $O z$ 轴夹角的余弦分别为 $α\alpha$ , $β\beta$ , $γ\gamma$ 。令 $N$ 的几何坐标 $(x, y, z)$ ,该坐标满足的方程即是上述的曲面方程。根据式(4),易得下式成立
$α=Jux,β=Juyγ=Juz(5)\begin{array}{c} \alpha=\sqrt{J_{u}} x, \quad \beta=\sqrt{J_{u}} y \\ \gamma=\sqrt{J_{u}} z \end{array}{\tag5}$

代入式(2)，得到
$Jxx2+Jyy2+Jzz2−2Jxyxy−2Jxzxz−2Jyzyz=1(6)J_{x} x^{2}+J_{y} y^{2}+J_{z} z^{2}-2 J_{x y} x y-2 J_{x z} x z-2 J_{y z} y z=1{\tag6}$

这就是曲面方程在 $O x y z$ 坐标系下的数学表达式，根据解析几何知识判断是一个椭球，这就是惯性椭球。根据前文所述，该曲面(椭球)固联于刚体，其形状与坐标系选择无关。根据解析几何知识，椭球自身有三个方向的主轴。因此，当所选择另一个坐标系 $Ox′y′z′Ox^{\prime}y^{\prime}z^{\prime}$ 与三个方向的主轴重合时，椭球方程可写为
$Jx′x′2+Jy′y′2+Jz′z′2=1(7)J_{x^{\prime}} x^{\prime2}+J_{y^{\prime}} y^{\prime2}+J_{z^{\prime}} z^{\prime2}=1{\tag7}$

其中 $Jx′J_{x^{\prime}}$ , $Jy′J_{y^{\prime}}$ , $Jz′J_{z^{\prime}}$ 被称为主轴惯性矩。如果它们各不相同，则主轴是唯一的。如果椭球是旋转椭球，则主轴选为旋转轴以及赤道平面任意两个垂直的轴。如果三者相等，则所有过 $O$ 点的轴都是惯性主轴。
惯量椭球形象化地表示出刚体对过 $O$ 点的所有惯量矩分布状况。当有了惯性椭球，对任意轴 $u$ 的惯性矩都等于 $1/ON^2$ ， $O N$ 是连接 $O$ 与椭球交点的线段。相对椭球最短轴的惯性矩最大，相对椭球最长轴的惯性矩最小。