4.谐振

1.概念

  外部频率与自然频率相等时的一种运动情况。

2.举例说明

  考虑如下非齐次线性二阶ODE$$\ddot{x}+{\omega }_0^{2}x=f\cos \omega t,x(0)=0,\dot{x}(0)=0\text{\hspace{1em}(1)}$$并研究当$\omega \to {\omega }_0$时解的情况。其通解为
$$x(t)=c_1\cos {\omega }_{0}t+c_2\sin {\omega }_{0}t+\frac{f}{{\omega }_0^2-{\omega }^2}\cos \omega t\text{\hspace{1em}(2)}$$

  代入初始条件，得其解为
$$x(t)=\frac{f\left(\cos \omega t-\cos {\omega }_{0}t\right)}{{\omega }_0^2-{\omega }^2}\text{\hspace{1em}(3)}$$

  谐振时，取极限为：
$$\underset{\omega \to {\omega }_0}{\lim }x(t)=\underset{\omega \to {\omega }_0}{\lim }\frac{f\left(\cos \omega t-\cos {\omega }_{0}t\right)}{{\omega }_0^2-{\omega }^2}=\underset{\omega \to {\omega }_0}{\lim }\frac{-ft\sin \omega t}{-2\omega }=\frac{ft\sin {\omega }_{0}t}{2{\omega }_0}\text{\hspace{1em}(4)}$$

注：取极限过程中把$t$看作常数。
由式(4)可见，谐振时，震荡幅度随着时间线性增加。