6.微分方程系统

0.引言

  本节解决一个耦合的常系数齐次一阶微分方程系统。这个微分方程系统能写成矩阵形式，并把方程转化为标准的矩阵代数特征值问题。

1.齐次线性一阶微分方程系统

  考虑如下方程
$${\dot{x}}_1=a{x}_1+b{x}_2,{\dot{x}}_2=c{x}_1+d{x}_2\text{\hspace{1em}(1)}$$

可以写成矩阵形式$$\frac{d}{dt}\left(\begin{array}{l}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}a& b\\ c& d\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)$$或者$\dot{\mathrm{x}}=\mathrm{A}\mathrm{x}$。
  猜想解有 $x(t)=\mathrm{v}{e}^{\lambda t}$的形式，代入以上方程，得
$${\lambda }_{\mathrm{V}}{e}^{\lambda t}=\mathrm{A}\mathrm{v}{e}^{\lambda t}\text{\hspace{1em}(2)}$$消去指数项后，得
$$Av=\lambda v\text{\hspace{1em}(3)}$$

这就转化为特征值问题。即解由$A$的特征值和对应的特征向量组成。

1.1 相异实根

  对于系统
$$\frac{d}{dt}\left(\begin{array}{l}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}1& 1\\ 4& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)$$

两个相异的特征根和对应的特征向量为
$${\lambda }_1=-1,{\mathrm{v}}_1=\left(\begin{array}{r}1\\ -2\end{array}\right);{\lambda }_2=3,{\mathrm{v}}_2=\left(\begin{array}{l}1\\ 2\end{array}\right)$$

则根据叠加原理，方程的通解为
$$\mathbf{x}(t)=c_1{\mathrm{v}}_1{e}^{{\lambda }_{1}t}+c_2{\mathrm{v}}_2{e}^{{\lambda }_{2}t}\text{\hspace{1em}(4)}$$

注：要想形式(4)为通解，则要求$t=0$时，关于$c_1$,$c_2$的方程
$${\mathbf{x}}_1(0)=c_1{\mathrm{v}}_{11}+c_2{\mathrm{v}}_{21}$$

$${\mathbf{x}}_2(0)=c_2{\mathrm{v}}_{12}+c_2{\mathrm{v}}_{22}$$有唯一解，则充要条件是特征向量${\mathrm{v}}_1$,${\mathrm{v}}_2$不平行。当特征值不同时，该条件自然满足。

1.2 共轭复数根

对于系统
$$\frac{d}{dt}\left(\begin{array}{l}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr}-\frac{1}{2}& 1\\ -1& -\frac{1}{2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)$$其共轭复根为

$$\lambda =-\frac{1}{2}+i\text{ and }\bar{\lambda }=-\frac{1}{2}-i$$

对式$$Av=\lambda v$$两边取共轭，得
$$A\bar{v}=\bar{\lambda }\bar{v}\text{\hspace{1em}(5)}$$
由式(5)可见，共轭复数根所对应的特征向量也是共轭的。
求得$\mathrm{v}={\left(\begin{array}{ll}1& i\end{array}\right)}^{\mathrm{T}}$，则可得到两个独立的复数解$${\mathrm{v}\mathrm{e}}^{\lambda t}\text{ and }\overline{\mathrm{v}}{e}^{\overline{\lambda }t}\text{\hspace{1em}(6)}$$

二者互为共轭。
  下面要求两个线性独立的实数解，分别是复数解的实部$\mathrm{Re}\left\{\mathrm{v}{e}^{\lambda t}\right\}$和虚部$\mathrm{Im}\left\{\mathrm{v}{e}^{\lambda t}\right\}$。具体到本题，有
$$\begin{array}{l}\mathrm{Re}\left\{\mathrm{v}{e}^{\lambda t}\right\}=\mathrm{Re}\left\{\left(\begin{array}{l}1\\ i\end{array}\right)e^{\left(-\frac{1}{2}+i\right)t}\right\}=e^{-\frac{1}{2}t}\left(\begin{array}{r}\cos t\\ -\sin t\end{array}\right)\\ \mathrm{Im}\left\{\mathrm{v}{e}^{\lambda t}\right\}=\mathrm{Im}\left\{\left(\begin{array}{l}1\\ i\end{array}\right)e^{\left(-\frac{1}{2}+i\right)t}\right\}=e^{-\frac{1}{2}t}\left(\begin{array}{l}\sin t\\ \cos t\end{array}\right)\end{array}\text{\hspace{1em}(7)}$$

则根据叠加原理，通解为
$$\mathrm{x}=e^{-t/2}\left(A\left(\begin{array}{r}\cos t\\ -\sin t\end{array}\right)+B\left(\begin{array}{c}\sin t\\ \cos t\end{array}\right)\right)\text{\hspace{1em}(8)}$$