6.微分方程系统

0.引言

  本节解决一个耦合的常系数齐次一阶微分方程系统。这个微分方程系统能写成矩阵形式,并把方程转化为标准的矩阵代数特征值问题。

1.齐次线性一阶微分方程系统

  考虑如下方程
x˙1=ax1+bx2,x˙2=cx1+dx2(1)\dot{x}_{1}=a x_{1}+b x_{2}, \quad \dot{x}_{2}=c x_{1}+d x_{2}\tag{1}x˙1=ax1+bx2,x˙2=cx1+dx2(1)

可以写成矩阵形式ddt(x1x2)=(abcd)(x1x2)\frac{d}{d t}\left(\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \end{array}\right)dtd(x1x2)=(acbd)(x1x2)或者x˙=Ax\dot{\mathrm{x}}=\mathrm{Ax}x˙=Ax
  猜想解有 x(t)=veλtx(t)=\mathrm{v} e^{\lambda t}x(t)=veλt的形式,代入以上方程,得
λVeλt=Aveλt(2)\lambda_{\mathrm{V}} e^{\lambda t}=\mathrm{Av} e^{\lambda t}\tag{2}λVeλt=Aveλt(2)消去指数项后,得
Av=λv(3)A v=\lambda v\tag{3}Av=λv(3)

这就转化为特征值问题即解由AAA的特征值和对应的特征向量组成。

1.1 相异实根

  对于系统
ddt(x1x2)=(1141)(x1x2)\frac{d}{d t}\left(\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 4 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \end{array}\right)dtd(x1x2)=(1411)(x1x2)

两个相异的特征根和对应的特征向量为
λ1=−1,v1=(1−2);λ2=3,v2=(12)\lambda_{1}=-1, \mathrm{v}_{1}=\left(\begin{array}{r} 1 \\ -2 \end{array}\right) ; \quad \lambda_{2}=3, \mathrm{v}_{2}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \end{array}\right)λ1=1,v1=(12);λ2=3,v2=(12)

则根据叠加原理,方程的通解为
x(t)=c1v1eλ1t+c2v2eλ2t(4)\mathbf{x}(t)=c_{1} \mathrm{v}_{1} e^{\lambda_{1} t}+c_{2} \mathrm{v}_{2} e^{\lambda_{2} t}\tag{4}x(t)=c1v1eλ1t+c2v2eλ2t(4)

:要想形式(4)为通解,则要求t=0t=0t=0时,关于c1c_1c1,c2c_2c2的方程
x1(0)=c1v11+c2v21\mathbf{x}_1(0)=c_{1} \mathrm{v}_{11} +c_{2} \mathrm{v}_{21} x1(0)=c1v11+c2v21

x2(0)=c2v12+c2v22\mathbf{x}_2(0)=c_{2} \mathrm{v}_{12} +c_{2} \mathrm{v}_{22} x2(0)=c2v12+c2v22有唯一解,则充要条件是特征向量v1\mathrm{v}_1v1,v2\mathrm{v}_2v2不平行。当特征值不同时,该条件自然满足。

1.2 共轭复数根

对于系统
ddt(x1x2)=(−121−1−12)(x1x2)\frac{d}{d t}\left(\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr} -\frac{1}{2} & 1 \\ -1 & -\frac{1}{2} \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \end{array}\right)dtd(x1x2)=(211121)(x1x2)其共轭复根为

λ=−12+i and λˉ=−12−i\lambda=-\frac{1}{2}+i \quad \text { and } \quad \bar{\lambda}=-\frac{1}{2}-iλ=21+i and λˉ=21i

对式Av=λvA v=\lambda vAv=λv两边取共轭,得
Avˉ=λˉvˉ(5)A \bar{v}=\bar{\lambda} \bar{v}\tag{5}Avˉ=λˉvˉ(5)
由式(5)可见,共轭复数根所对应的特征向量也是共轭的
求得v=(1i)T\mathrm{v}=\left(\begin{array}{ll} 1 & i \end{array}\right)^{\mathrm{T}}v=(1i)T,则可得到两个独立的复数解veλt and v‾eλ‾t(6)\mathrm{ve}^{\lambda t} \quad \text { and } \quad \overline{\mathrm{v}} e^{\overline{\lambda} t}\tag{6}veλt and veλt(6)

二者互为共轭
  下面要求两个线性独立的实数解,分别是复数解的实部Re⁡{veλt}\operatorname{Re}\left\{\mathrm{v} e^{\lambda t}\right\}Re{veλt}和虚部Im⁡{veλt}\operatorname{Im}\left\{\mathrm{v} e^{\lambda t}\right\}Im{veλt}。具体到本题,有
Re⁡{veλt}=Re⁡{(1i)e(−12+i)t}=e−12t(cos⁡t−sin⁡t)Im⁡{veλt}=Im⁡{(1i)e(−12+i)t}=e−12t(sin⁡tcos⁡t)(7)\begin{array}{l} \operatorname{Re}\left\{\mathrm{v} e^{\lambda t}\right\}=\operatorname{Re}\left\{\left(\begin{array}{l} 1 \\ i \end{array}\right) e^{\left(-\frac{1}{2}+i\right) t}\right\}=e^{-\frac{1}{2} t}\left(\begin{array}{r} \cos t \\ -\sin t \end{array}\right) \\ \operatorname{Im}\left\{\mathrm{v} e^{\lambda t}\right\}=\operatorname{Im}\left\{\left(\begin{array}{l} 1 \\ i \end{array}\right) e^{\left(-\frac{1}{2}+i\right) t}\right\}=e^{-\frac{1}{2} t}\left(\begin{array}{l} \sin t \\ \cos t \end{array}\right) \end{array}\tag{7}Re{veλt}=Re{(1i)e(21+i)t}=e21t(costsint)Im{veλt}=Im{(1i)e(21+i)t}=e21t(sintcost)(7)

则根据叠加原理,通解为
x=e−t/2(A(cos⁡t−sin⁡t)+B(sin⁡tcos⁡t))(8)\mathrm{x}=e^{-t / 2}\left(A\left(\begin{array}{r} \cos t \\ -\sin t \end{array}\right)+B\left(\begin{array}{c} \sin t \\ \cos t \end{array}\right)\right)\tag{8}x=et/2(A(costsint)+B(sintcost))(8)

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