一阶微分方程组求解-优快云博客

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0.引言

本节解决一个耦合的常系数齐次一阶微分方程系统。这个微分方程系统能写成矩阵形式，并把方程转化为标准的矩阵代数特征值问题。

1.齐次线性一阶微分方程系统

考虑如下方程
$x˙1=ax1+bx2,x˙2=cx1+dx2(1)\dot{x}_{1}=a x_{1}+b x_{2}, \quad \dot{x}_{2}=c x_{1}+d x_{2}\tag{1}$

可以写成矩阵形式 $ddt(x1x2)=(abcd)(x1x2)\frac{d}{d t}\left(\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \end{array}\right)$ 或者 $x˙=Ax\dot{\mathrm{x}}=\mathrm{Ax}$ 。
猜想解有 $x(t)=veλtx(t)=\mathrm{v} e^{\lambda t}$ 的形式，代入以上方程，得
$λVeλt=Aveλt(2)\lambda_{\mathrm{V}} e^{\lambda t}=\mathrm{Av} e^{\lambda t}\tag{2}$ 消去指数项后，得
$v=\lambda v\tag{3}$

这就转化为特征值问题。即解由 $A$ 的特征值和对应的特征向量组成。

1.1 相异实根

对于系统
$ddt(x1x2)=(1141)(x1x2)\frac{d}{d t}\left(\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 4 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \end{array}\right)$

两个相异的特征根和对应的特征向量为
$λ1=−1,v1=(1−2);λ2=3,v2=(12)\lambda_{1}=-1, \mathrm{v}_{1}=\left(\begin{array}{r} 1 \\ -2 \end{array}\right) ; \quad \lambda_{2}=3, \mathrm{v}_{2}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \end{array}\right)$

则根据叠加原理，方程的通解为
$x(t)=c1v1eλ1t+c2v2eλ2t(4)\mathbf{x}(t)=c_{1} \mathrm{v}_{1} e^{\lambda_{1} t}+c_{2} \mathrm{v}_{2} e^{\lambda_{2} t}\tag{4}$

注：要想形式(4)为通解，则要求 $t = 0$ 时，关于 $c_1$ , $c_2$ 的方程
$x1(0)=c1v11+c2v21\mathbf{x}_1(0)=c_{1} \mathrm{v}_{11} +c_{2} \mathrm{v}_{21}$

$x2(0)=c2v12+c2v22\mathbf{x}_2(0)=c_{2} \mathrm{v}_{12} +c_{2} \mathrm{v}_{22}$ 有唯一解，则充要条件是特征向量 $v1\mathrm{v}_1$ , $v2\mathrm{v}_2$ 不平行。当特征值不同时，该条件自然满足。

1.2 共轭复数根

对于系统
$ddt(x1x2)=(−121−1−12)(x1x2)\frac{d}{d t}\left(\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr} -\frac{1}{2} & 1 \\ -1 & -\frac{1}{2} \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \end{array}\right)$ 其共轭复根为

$λˉ=−12−i\lambda=-\frac{1}{2}+i \quad \text { and } \quad \bar{\lambda}=-\frac{1}{2}-i$

对式 $v=\lambda v$ 两边取共轭，得
$\bar{v}=\bar{\lambda} \bar{v}\tag{5}$
由式(5)可见，共轭复数根所对应的特征向量也是共轭的。
求得 $v=(1i)T\mathrm{v}=\left(\begin{array}{ll} 1 & i \end{array}\right)^{\mathrm{T}}$ ，则可得到两个独立的复数解 $v‾eλ‾t(6)\mathrm{ve}^{\lambda t} \quad \text { and } \quad \overline{\mathrm{v}} e^{\overline{\lambda} t}\tag{6}$

二者互为共轭。
下面要求两个线性独立的实数解，分别是复数解的实部 $Re⁡{veλt}\operatorname{Re}\left\{\mathrm{v} e^{\lambda t}\right\}$ 和虚部 $Im⁡{veλt}\operatorname{Im}\left\{\mathrm{v} e^{\lambda t}\right\}$ 。具体到本题，有
$Re⁡{veλt}=Re⁡{(1i)e(−12+i)t}=e−12t(cos⁡t−sin⁡t)Im⁡{veλt}=Im⁡{(1i)e(−12+i)t}=e−12t(sin⁡tcos⁡t)(7)\begin{array}{l} \operatorname{Re}\left\{\mathrm{v} e^{\lambda t}\right\}=\operatorname{Re}\left\{\left(\begin{array}{l} 1 \\ i \end{array}\right) e^{\left(-\frac{1}{2}+i\right) t}\right\}=e^{-\frac{1}{2} t}\left(\begin{array}{r} \cos t \\ -\sin t \end{array}\right) \\ \operatorname{Im}\left\{\mathrm{v} e^{\lambda t}\right\}=\operatorname{Im}\left\{\left(\begin{array}{l} 1 \\ i \end{array}\right) e^{\left(-\frac{1}{2}+i\right) t}\right\}=e^{-\frac{1}{2} t}\left(\begin{array}{l} \sin t \\ \cos t \end{array}\right) \end{array}\tag{7}$

则根据叠加原理，通解为
$x=e−t/2(A(cos⁡t−sin⁡t)+B(sin⁡tcos⁡t))(8)\mathrm{x}=e^{-t / 2}\left(A\left(\begin{array}{r} \cos t \\ -\sin t \end{array}\right)+B\left(\begin{array}{c} \sin t \\ \cos t \end{array}\right)\right)\tag{8}$