航天器编队飞行(3):笛卡尔坐标表述

本文详细推导了Hill坐标系下从星的相对运动方程，包括无摄动情况下的精确解及CW方程的线性化模型。通过引入无量纲化参数，展示了相对轨道的闭合解及其几何形状，最后给出了两种解的形式。

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1.建模

本节中，相对位置用定义在主星上的Hill坐标系下的分量 $ρ=(x,y,z)T\boldsymbol{\rho}=(x, y, z)^{T}$ 来表征
$rd=rc+ρ=(rc+x)o^r+yo^θ+zo^h(1)\boldsymbol{r}_{d}=\boldsymbol{r}_{c}+\boldsymbol{\rho}=\left(r_{c}+x\right) \hat{\boldsymbol{o}}_{r}+y \hat{\boldsymbol{o}}_{\theta}+z \hat{\boldsymbol{o}}_{h}\tag{1}$

其中， $r_c$ 是主星的轨道半径长度。Hill系 $O\mathcal{O}$ 相对于惯性坐标系 $N\mathcal{N}$ 的角速度为 $ωO/N=f˙o^h(2)\boldsymbol{\omega}_{\mathcal{O} / N}=\dot{f} \hat{\boldsymbol{o}}_{h}\tag{2}$

其中, $f$ 是主星的真近点角。
相对惯性系求二阶导数，得
$r¨d=(r¨c+x¨−2y˙f˙−f¨y−f˙2(rc+x))o^r+(y¨+2f˙(r˙c+x˙)+f¨(rc+x)−f˙2y)o^θ+z¨o^h(3)\begin{aligned} \ddot{\boldsymbol{r}}_{d}=&\left(\ddot{r}_{c}+\ddot{x}-2 \dot{y} \dot{f}-\ddot{f} y-\dot{f}^{2}\left(r_{c}+x\right)\right) \hat{\boldsymbol{o}}_{r} \\ &+\left(\ddot{y}+2 \dot{f}\left(\dot{r}_{c}+\dot{x}\right)+\ddot{f}\left(r_{c}+x\right)-\dot{f}^{2} y\right) \hat{\boldsymbol{o}}_{\theta}+\ddot{\boldsymbol{z}} \hat{\boldsymbol{o}}_{h} \end{aligned}\tag{3}$

考虑到轨道角动量的值 $h=r_{c}^{2} f$ 是常数，则有
$h˙=0=2rcr˙cf˙+rc2f¨(4)\dot{h}=0=2 r_{c} \dot{r}_{c} \dot{f}+r_{c}^{2} \ddot{f}\tag{4}$

因此，真近点角的二阶导数可以被写为

$f¨=−2r˙crcf˙(5)\ddot{f}=-2 \frac{\dot{r}_{c}}{r_{c}} \dot{f}\tag{5}$

求主星惯性位置 $rc=rco^r\boldsymbol{r}_{c}=r_{c} \hat{\boldsymbol{o}}_{r}$ 相对惯性系的二阶导数，并考虑轨道运动方程，得 $r¨c=(r¨c−rcf˙2)o^r=−μrc3rc=−μrc2o^r(6)\ddot{\boldsymbol{r}}_{c}=\left(\ddot{r}_{c}-r_{c} \dot{f}^{2}\right) \hat{\boldsymbol{o}}_{r}=-\frac{\mu}{r_{c}^{3}} \boldsymbol{r}_{c}=-\frac{\mu}{r_{c}^{2}} \hat{\boldsymbol{o}}_{r}\tag{6}$

展开分量形式，得
$r¨c=rcf˙2−μrc2=rcf˙2(1−rcp)(7)\ddot{r}_{c}=r_{c} \dot{f}^{2}-\frac{\mu}{r_{c}^{2}}=r_{c} \dot{f}^{2}\left(1-\frac{r_{c}}{p}\right)\tag{7}$

把(5)和(7)代入(3)式，得到从星的加速度矢量表达式 $r¨d=(x¨−2f˙(y˙−yr˙crc)−xf˙2−μrc2)o^r+(y¨+2f˙(x˙−xr˙crc)−yf˙2)o^θ+z¨o^h(8)\begin{aligned} \ddot{\boldsymbol{r}}_{d}=&\left(\ddot{x}-2 \dot{f}\left(\dot{y}-y \frac{\dot{r}_{c}}{r_{c}}\right)-x \dot{f}^{2}-\frac{\mu}{r_{c}^{2}}\right) \hat{\boldsymbol{o}}_{r} \\ &+\left(\ddot{y}+2 \dot{f}\left(\dot{x}-x \frac{\dot{r}_{c}}{r_{c}}\right)-y \dot{f}^{2}\right) \hat{\boldsymbol{o}}_{\theta}+\ddot{z} \hat{\boldsymbol{o}}_{h} \end{aligned}\tag{8}$

同时，从星也满足自己的轨道运动方程。 $r¨d=−μrd3rd=−μrd3(rc+xyz)(9)\ddot{\boldsymbol{r}}_{d}=-\frac{\mu}{r_{d}^{3}} \boldsymbol{r}_{d}=-\frac{\mu}{r_{d}^{3}}\left(\begin{array}{c} r_{c}+x \\ y \\ z \end{array}\right)\tag{9}$

其中， $rd=(rc+x)2+y2+z2\left.r_{d}=\sqrt{(} r_{c}+x\right)^{2}+y^{2}+z^{2}$ 。

令(8),(9)各分量相等，得到了无摄动情况下准确的非线性运动方程
$x¨−2f˙(y˙−yr˙crc)−xf˙2−μrc2=−μrd3(rc+x)y¨+2f˙(x˙−xr˙crc)−yf˙2=−μrd3yz¨=−μrd3z(10)\begin{aligned} \ddot{x}-2 \dot{f}\left(\dot{y}-y \frac{\dot{r}_{c}}{r_{c}}\right)-x \dot{f}^{2}-\frac{\mu}{r_{c}^{2}} &=-\frac{\mu}{r_{d}^{3}}\left(r_{c}+x\right) \\ \ddot{y}+2 \dot{f}\left(\dot{x}-x \frac{\dot{r}_{c}}{r_{c}}\right)-y \dot{f}^{2} &=-\frac{\mu}{r_{d}^{3}} y \\ \ddot{z} &=-\frac{\mu}{r_{d}^{3}} z \end{aligned}\tag{10}$

简化

式(10)是不考虑摄动情况下的精确解，适用于任意大的轨道，也适用于椭圆轨道。
如果和主星轨道半径长度 $r_c$ 相比，相对轨道坐标 $(x, y, z)$ 很小，那么从星的轨道半径长度可以近似为(通过去掉轨道坐标 $x, y, z$ 与 $r_c$ 比值的二阶项) $rd=rc1+2xrc+x2+y2+z2rc2≈rc1+2xrc(11)r_{d}=r_{c} \sqrt{1+2 \frac{x}{r_{c}}}+\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{r_{c}^{2}} \approx r_{c} \sqrt{1+2 \frac{x}{r_{c}}}\tag{11}$

因此有下列近似(一阶)
$μrd3≈μrc3(1−3xrc)(12)\frac{\mu}{r_{d}^{3}} \approx \frac{\mu}{r_{c}^{3}}\left(1-3 \frac{x}{r_{c}}\right)\tag{12}$

将(12)代入(9),去掉高阶项，得

$−μrd3(rc+xyz)≈−μrc3(1−3xrc)O(rc+xyz)≈−μrc3(rc−2xyz)(12)-\frac{\mu}{r_{d}^{3}}\left(\begin{array}{c} r_{c}+x \\ y \\ z \end{array}\right) \approx-\frac{\mu}{r_{c}^{3}}\left(1-3 \frac{x}{r_{c}}\right)^{O}\left(\begin{array}{c} r_{c}+x \\ y \\ z \end{array}\right) \approx-\frac{\mu}{r_{c}^{3}}\left(\begin{array}{c} r_{c}-2 x \\ y \\ z \end{array}\right)\tag{12}$
将(12)代入(10),并利用
$μrc3=rcpf˙2=f˙21+ecos⁡f(13)\frac{\mu}{r_{c}^{3}}=\frac{r_{c}}{p} \dot{f}^{2}=\frac{\dot{f}^{2}}{1+e \cos f}\tag{13}$
经过整理后可得
$x¨−xf˙2(1+2rcp)−2f˙(y˙−yr˙crc)=0y¨+2f˙(x˙−xr˙crc)−yf˙2(1−rcp)=0z¨+rcpf˙2z=0(14)\begin{aligned} \ddot{x}-x \dot{f}^{2}\left(1+2 \frac{r_{c}}{p}\right)-2 \dot{f}\left(\dot{y}-y \frac{\dot{r}_{c}}{r_{c}}\right) &=0 \\ \ddot{y}+2 \dot{f}\left(\dot{x}-x \frac{\dot{r}_{c}}{r_{c}}\right)-y \dot{f}^{2}\left(1-\frac{r_{c}}{p}\right) &=0 \\ \ddot{z}+\frac{r_{c}}{p} \dot{f}^{2} z &=0 \end{aligned}\tag{14}$
式(14)就是假定 $x, y, z$ 相比 $r_c$ 很小，并据此后得到的相对运动方程。
利用等式 $θ=ω+f\theta=\omega+f$ ，以及式(5),则式(14)可进一步变为式(15)这一更常用的形式 $x¨−x(θ˙2+2μrc3)−yθ¨−2y˙θ˙=0y¨+xθ¨+2x˙θ˙−y(θ˙2−μrc3)=0z¨+μrc3z=0(15)\begin{aligned} \ddot{x}-x\left(\dot{\theta}^{2}+2 \frac{\mu}{r_{c}^{3}}\right)-y \ddot{\theta}-2 \dot{y} \dot{\theta} &=0 \\ \ddot{y}+x \ddot{\theta}+2 \dot{x} \dot{\theta}-y\left(\dot{\theta}^{2}-\frac{\mu}{r_{c}^{3}}\right) &=0 \\ \ddot{z}+\frac{\mu}{r_{c}^{3}} z &=0 \end{aligned}\tag{15}$

进一步简化

如果主星是圆轨道，则 $e=0, p=r_{c}$ 。并且 $r_c$ 是常数。同时对于圆轨道，平均轨道速率 $n$ 等于真近点角速率 $f˙\dot f$ 。将以上条件代入式(14)，得
$x¨−2ny˙−3n2x=0y¨+2nx˙=0z¨+n2z=0(16)\begin{aligned} \ddot{x}-2 n \dot{y}-3 n^{2} x &=0 \\ \ddot{y}+2 n \dot{x} &=0 \\ \ddot{z}+n^{2} z &=0 \end{aligned}\tag{16}$

这就是CW方程。

无量纲化

将函数无量纲化
$u=xrcv=yrcw=zrcu=\frac{x}{r_{c}} \quad v=\frac{y}{r_{c}} \quad w=\frac{z}{r_{c}}$

自变量取为无量纲的真近点角 $f$ ，将对时间求导改为对 $f$ 求导，
$()′≡d()df()^{\prime} \equiv \frac{\mathrm{d}()}{\mathrm{d} f}$

可得 $x˙rc=u′f˙+ur˙crcx¨rc=u′′f˙2+uf˙2(1−rcp)y˙rc=v′f˙+vr˙crcy¨rc=v′′f˙2+vf˙2(1−rcp)z˙rc=w′f˙+wr˙crcz¨rc=w′′f˙2+wf˙2(1−rcp)\begin{aligned} &\frac{\dot{x}}{r_{c}}=u^{\prime} \dot{f}+u \frac{\dot{r}_{c}}{r_{c}} \quad \frac{\ddot{x}}{r_{c}}=u^{\prime \prime} \dot{f}^{2}+u \dot{f}^{2}\left(1-\frac{r_{c}}{p}\right)\\ &\frac{\dot{y}}{r_{c}}=v^{\prime} \dot{f}+v \frac{\dot{r}_{c}}{r_{c}} \quad \frac{\ddot{y}}{r_{c}}=v^{\prime \prime} \dot{f}^{2}+v \dot{f}^{2}\left(1-\frac{r_{c}}{p}\right)\\ &\frac{\dot{z}}{r_{c}}=w^{\prime} \dot{f}+w \frac{\dot{r}_{c}}{r_{c}} \quad \frac{\ddot{z}}{r_{c}}=w^{\prime \prime} \dot{f}^{2}+w \dot{f}^{2}\left(1-\frac{r_{c}}{p}\right) \end{aligned}$

代入(17),得
$u′′−2v′−3u1+ecos⁡f=0v′′+2u′=0w′′+w=0\begin{aligned} u^{\prime \prime}-2 v^{\prime}-\frac{3 u}{1+e \cos f} &=0 \\ v^{\prime \prime}+2 u^{\prime} &=0 \\ w^{\prime \prime}+w &=0 \end{aligned}$

该该式在形式上与CW很类似，但也仅仅是类似而已。

2. Hill坐标系下的相对轨道

CW方程(16)的解为
$x(t)=A0cos⁡(nt+α)+xoffy(t)=−2A0sin⁡(nt+α)−32ntxoff+yoffz(t)=B0cos⁡(nt+β)(17)\begin{array}{l} x(t)=A_{0} \cos (n t+\alpha)+x_{\mathrm{off}} \\ y(t)=-2 A_{0} \sin (n t+\alpha)-\frac{3}{2} n t x_{\mathrm{off}}+y_{\mathrm{off}} \\ z(t)=B_{0} \cos (n t+\beta) \end{array}\tag{17}$

其中， $d=y˙0+2nx0d=\dot{y}_{0}+2 n x_{0}$ ， $xoff=2dnx_{\mathrm{off}}=\frac{2 d}{n}$ 。
要使轨道闭合，则式(17)第二项关于时间 $t$ 的一次项系数必须为0，即 $xoff=0x_{\mathrm{off}}=0$ ，即 $d = 0$ 。
因此
$d=y˙0+2nx0=0(18)d=\dot{y}_{0}+2 n x_{0}=0\tag{18}$

此时对应的闭合解为
$x(t)=A0cos⁡(nt+α)y(t)=−2A0sin⁡(nt+α)+yoffz(t)=B0cos⁡(nt+β)(17)\begin{array}{l} x(t)=A_{0} \cos (n t+\alpha) \\ y(t)=-2 A_{0} \sin (n t+\alpha)+y_{\mathrm{off}} \\ z(t)=B_{0} \cos (n t+\beta) \end{array}\tag{17}$

在式(17)中，线性化运动的解析解由六个不变量表示，即轨道面内以及垂直轨道面的运动幅度参数 $A_0,B_0$ ,相位角 $α,β\alpha,\beta$ 以及径向的偏置 $xoffx_\mathrm{off}$ 和轨迹方向的初始偏置 $yoffy_\mathrm{off}$ 。
$B1β]T(18)\begin{array}{llllll} \left[A_{1}\right. & \alpha & x_{\text {off }} & y_{\text {off }} & B_{1} & \beta]^{T} \end{array}\tag{18}$

这六个无摄动情况下的不变量被称为相对轨道根数。由于本文对应的这些是线性化模型对应的不变量，因此也被称为线性化相对轨道根数。其优势在于能比较直观的看到相对运动的几何形状，因为其常数项，三角函数项以及随时间增长的长期项都很直观。
这组相对轨道根数可由任意时刻的Hill系下的位置和速度坐标求得。
$A0=9n2x2+x2+12nxy˙+4y˙2nα=arctan⁡(−x˙−3nx−2y)−ntxoff=4x+2jnyoff=−2x˙n+y+(6nx+3y˙)tB0=n2z2+z˙2nβ=arctan⁡(−z˙nz)−nt(19)\begin{array}{l} \begin{aligned} A_{0} &=\frac{\sqrt{9 n^{2} x^{2}+x^{2}+12 n x \dot y+4 \dot y^{2}}}{n} \\ \alpha &=\arctan \left(\frac{-\dot x}{-3 n x-2 y}\right)-n t \end{aligned} \\ x_{\mathrm{off}}=4 x+2 \frac{j}{n} \\ y_{\mathrm{off}}=-2 \frac{\dot{x}}{n}+y+(6 n x+3 \dot{y}) t \\ B_{0}=\frac{\sqrt{n^{2} z^{2}+\dot{z}^{2}}}{n} \\ \beta=\arctan \left(\frac{-\dot{z}}{n z}\right)-n t \end{array}\tag{19}$

注意到如果式(17)中 $A_0$ 或 $B_0$ 为零时，分别导致式(19)中的 $α,β\alpha,\beta$ 求解公式奇异，说明 $α,β\alpha,\beta$ 不能确定。

另一种解的形式

CW方程的另一种解的形式用初始的六个状态 $(x0,y0,z0,x˙0,y˙0,z˙0)\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}, \dot{x}_{0}, \dot{y}_{0}, \dot{z}_{0}\right)$ 来表示。
$x(t)=(4−3cos⁡(nt))x0+sin⁡(nt)nx˙0+2n(1−cos⁡(nt))y˙0y(t)=6(sin⁡(nt)−nt)x0+y0−2n(1−cos⁡(nt))x˙0+(4nsin⁡(nt)−3t)y˙0z(t)=cos⁡(nt)z0+sin⁡(nt)nz˙0x˙(t)=3nsin⁡(nt)x0+cos⁡(nt)x˙0+2sin⁡(nt)y˙0y˙(t)=−6n(1−cos⁡(nt))x0−2sin⁡(nt)x˙0+(4cos⁡(nt)−3)y˙0z˙(t)=−nsin⁡(nt)z0+cos⁡(nt)z˙0(19)\begin{aligned} x(t)=&(4-3 \cos (n t)) x_{0}+\frac{\sin (n t)}{n} \dot{x}_{0}+\frac{2}{n}(1-\cos (n t)) \dot{y}_{0} \\ y(t)=& 6(\sin (n t)-n t) x_{0}+y_{0}-\frac{2}{n}(1-\cos (n t)) \dot{x}_{0} \\ &+\left(\frac{4}{n} \sin (n t)-3 t\right) \dot{y}_{0} \\ z(t)=& \cos (n t) z_{0}+\frac{\sin (n t)}{n} \dot{z}_{0} \\ \dot{x}(t)=& 3 n \sin (n t) x_{0}+\cos (n t) \dot{x}_{0}+2 \sin (n t) \dot{y}_{0} \\ \dot{y}(t)=&-6 n(1-\cos (n t)) x_{0}-2 \sin (n t) \dot{x}_{0}+(4 \cos (n t)-3) \dot{y}_{0} \\ \dot{z}(t)=&-n \sin (n t) z_{0}+\cos (n t) \dot{z}_{0} \end{aligned}\tag{19}$