A.3 参数微分法

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对于系统 $x˙=f(t,x,p)(1)\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}(t, \mathbf{x}, \mathbf{p})\tag{1}$

式中 $p=[p1p2⋯pq]T(2)\mathbf{p}=\left[p_{1} p_{2} \cdots p_{q}\right]^{T}\tag{2}$

是常数参数。
在许多情况下，式(1)的初值 $x(t_0)$ 以及 $p\mathbf{p}$ 都是不知道的，需要利用 $x (t)$ 或其函数的测量值来进行估计。传统的估计方法(如最小二乘)需要求如下偏微分矩阵
$Φ(t,t0)=∂x(t)∂x(t0)(3)\Phi\left(t, t_{0}\right)=\frac{\partial \mathbf{x}(t)}{\partial \mathbf{x}\left(t_{0}\right)}\tag{3}$
和
$Ψ(t,t0)=∂x(t)∂p\Psi\left(t, t_{0}\right)=\frac{\partial \mathbf{x}(t)}{\partial \mathbf{p}}$
因此，需要计算这两个微分矩阵。可获得这两个矩阵所应满足的微分方程
$Φ˙(t,t0)=F(t)Φ(t,t0),Φ(t0,t0)=IΨ˙(t,t0)=F(t)Ψ(t,t0)+∂f(t,x,p)∂p,Ψ(t0,t0)=0(4)\begin{array}{l} \qquad \dot{\Phi}\left(t, t_{0}\right)=F(t) \Phi\left(t, t_{0}\right), \quad \Phi\left(t_{0}, t_{0}\right)=I \\ \dot{\Psi}\left(t, t_{0}\right)=F(t) \Psi\left(t, t_{0}\right)+\frac{\partial \mathbf{f}(t, \mathbf{x}, \mathbf{p})}{\partial \mathbf{p}}, \quad \Psi\left(t_{0}, t_{0}\right)=0 \end{array}\tag{4}$

其中
$\equiv \frac{\partial \mathbf{f}(t, \mathbf{x}, \mathbf{p})}{\partial \mathbf{x}(t)}\tag{5}$

微分矩阵存在如下关系
$δx(t)=Φ(t,t0)δx(t0)(6)\boldsymbol{\delta} \mathbf{x}(t)=\Phi\left(t, t_{0}\right) \boldsymbol{\delta} \mathbf{x}\left(t_{0}\right)\tag{6}$

其中 $δx\delta \mathbf{x}$ 是偏离式(1)参考解 $x_N$ 的一个小量。

心得，评注

式(6)中的 $Φ(t,t0)\Phi\left(t, t_{0}\right)$ 是对于参考解 $x_N$ 轨迹而言的。当参考轨迹恒为0时，可得
$\mathbf{x}(t)=\Phi\left(t, t_{0}\right) \mathbf{x}\left(t_{0}\right)\tag{7}$