无外力矩情况下的刚体旋转

如果系统不受外力矩，则总角动量是常数，刚体的旋转动能也是常数。
把角动量矢量$\mathbf{H}$按照本体组坐标系$\mathcal{B}$进行展开
$$\mathbf{H}{=}^{\mathcal{B}}\mathbf{H}=H_1{\hat{\mathbf{b}}}_1+H_2{\hat{\mathbf{b}}}_2+H_3{\hat{\mathbf{b}}}_3\text{\hspace{1em}(1)}$$

注意到$\dot{\mathbf{H}}$是相对于惯性坐标系$\mathcal{N}$的导数。因为$\dot{\mathbf{H}}=0$，因此只有在$\mathcal{N}$坐标系下看去，角动量矢量才是0。因此，在$\mathcal{B}$坐标系下，矢量$\mathbf{H}$不是常数，而是会变化。因此，$\mathcal{B}$下的矢量分量$H_i$是时变的。然而，$\mathbf{H}$的模长在所有坐标系中都是常数。
下面假定坐标系$\mathcal{B}$与惯性主轴重合，因此惯性矩阵是对角阵。角动量矢量可以写为
$$H{=}^B\mathbf{H}{=}^B\left(\begin{array}{l}{H}_1\\ H_2\\ H_3\end{array}\right){=}^{\mathcal{B}}\left(\begin{array}{l}{I}_1{\omega }_1\\ I_2{\omega }_2\\ I_3{\omega }_3\end{array}\right)\text{\hspace{1em}(2)}$$

因为角动量的模是常数，因此所有可能的角速度矢量必须在如下动量椭球的表面上
$$H^2={\mathbf{H}}^T\mathbf{H}=I_1^2{\omega }_1^2+I_2^2{\omega }_2^2+I_3^2{\omega }_3^2\text{\hspace{1em}(3)}$$

同时因为动能也是常数，因此角速度也必须在如下能量椭球的表面
$$T=\frac{1}{2}{I}_1{\omega }_1^2+\frac{1}{2}{I}_2{\omega }_2^2+\frac{1}{2}{I}_3{\omega }_3^2\text{\hspace{1em}(4)}$$

因此，对于无外力矩刚体，角速度必须满足以上两个等式。相应的几何解释就是，$\omega (t)$必须在角动量椭球和能量椭球的交线上。
为便于上述椭球交线的可视化，将椭球按照$\mathcal{B}$坐标系角动量矢量分量$H_i$来表示, 而不是用角速度分量$({\omega }_i)$。当利用$H_i$作为独立的坐标分量，则动量椭球变成动量球。
$$H^2=H_1^2+H_2^2+H_3^2\text{\hspace{1em}(5)}$$

能量椭球变为：
$$1=\frac{H_1^2}{2I_{1}T}+\frac{H_2^2}{2I_{2}T}+\frac{H_3^2}{2I_{3}T}\text{\hspace{1em}(6)}$$

其中，$\sqrt{2}{I}_{i}T$是对应的半轴。
以上两个椭球的交线形成了可能的$\omega (t)$的轨迹。很明显，对于一个给定的$|\mathbf{H}|$，动能肯定存在一个取值范围。当下讨论$|\mathbf{H}|$的模长为常数时，动能的取值范围。同时假定转动惯量$I_i$满足
$$I_1\ge I_2\ge I_3\text{\hspace{1em}(7)}$$

根据上述的转动惯量顺序，能量椭球最大的半轴$\sqrt{2}{I}_{1}T$对应于${\hat{\mathbf{b}}}_1$轴，能量椭球最小的半轴对应于${\hat{\mathbf{b}}}_3$轴，如下图所示。

公式(6)表明$T$的变化将会按比例放大或缩小能量椭球，然而其整体形状和各方面比例保持不变。
有三种特殊的能量情形：由于动能椭球和动量椭球必须相交，$T$所能取到的最小值是使得最大半轴等于$H=|\mathbf{H}|$。在这种情况下，动量椭球完美包裹了能量椭球。二者唯一的交点是
$${}^{\mathcal{B}}\mathbf{H}=\pm H{\hat{\mathbf{b}}}_1\text{\hspace{1em}(8)}$$

因此，对于最小动能的情形，刚体$\mathcal{B}$绕着最大的惯性主轴${\hat{\mathbf{b}}}_1$进行纯旋转，对应的动能为
$$T_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}=\frac{H^2}{2I_1}\text{\hspace{1em}(9)}$$

进一步增大$T$,则下一个特殊的情况是能量椭球的中间半轴等于$H$。两个椭球的交线被称为sepratrix。任何沿着sepratrix的运动其动能为:
$$T_{\text{int }}=\frac{H^2}{2I_2}\text{\hspace{1em}(10)}$$

注意：当刚体绕着中间惯性主轴${\hat{\mathbf{b}}}_2$进行纯旋转时，任何小的扰动都会引起"翻滚"。
当动能进一步增大到其最大的情况，动能椭球完美地包裹动量球。这个最大的动能
$$T_{\max }=\frac{H^2}{2I_3}\text{\hspace{1em}(11)}$$

对应于最小惯性主轴${\hat{\mathbf{b}}}_3$的纯旋转，因为两个球的仅有的交点是
$${}^B\mathbf{H}=\pm H{\hat{\mathbf{b}}}_3\text{\hspace{1em}(12)}$$

对于刚体运动一般情况，一旦确定了初始的动能$T$和角动量矢量$\mathbf{H}$，角速度矢量$\mathbf{\omega }$理论上将会永远按照某个特定的交线运动。这是在不考虑能量耗散的情况。当然，现实中这是不可能的。
下图显示了不同能量情况的交线族。

下面研究绕着最小惯量主轴${\hat{\mathbf{b}}}_3$旋转的情况。对于给定的角动量，这对应着最大能量的情况。随着能量耗散，能量椭球减小，刚体将会围绕着最小主轴${\hat{\mathbf{b}}}_3$摇摆。一段时间过后，角速度矢量$\omega (t)$将会和sepratrix相交，刚体开始绕着最大主轴${\hat{\mathbf{b}}}_1$摇摆。最后，当能量级别到达最小能量椭球，刚体将会绕着${\hat{\mathbf{b}}}_1$进行纯旋转。因此，当考虑能量耗散时，只有绕着最大惯量主轴的旋转才是稳定的。绕着${\hat{\mathbf{b}}}_3$的纯旋转将会变得不稳定。
如果刚体近似绕着最大主轴${\hat{\mathbf{b}}}_1$自旋，那么角速度$\omega (t)$将会绕着${\hat{\mathbf{b}}}_1$或$H_1$逆时针旋转。如果刚体近似绕着最小主轴${\hat{\mathbf{b}}}_3$自旋，那么角速度$\omega (t)$将会绕着${\hat{\mathbf{b}}}_1$或$H_3$顺时针旋转。
下面考虑两种特殊情况$I_1=I_2$以及$I_1=I_2=I_3$。
对于$I_1=I_2$，根据欧拉公式
$$\begin{array}{l}{I}_{11}{\dot{\omega }}_1=-\left(I_{33}-I_{22}\right){\omega }_2{\omega }_3+L_1\\ I_{22}{\dot{\omega }}_2=-\left(I_{11}-I_{33}\right){\omega }_3{\omega }_1+L_2\\ I_{33}{\dot{\omega }}_3=-\left(I_{22}-I_{11}\right){\omega }_1{\omega }_2+L_3\end{array}\text{\hspace{1em}(13)}$$

可得${\dot{\omega }}_3=0$，因此${\omega }_3(t)={\omega }_3\left(t_0\right)$是常数。因此，能量椭球在$H_1$和$H_2$方向上有相同的半轴。在这种情况下，交线是围绕$H_3$的圆轨迹。因为$I_1=I_2>I_3$，角速度$\omega (t)$以顺时针方向绕着$H_3$旋转。
在动量球的赤道平面上，在动量球的赤道平面$(H_1,H_2)$上有一种特殊的运动形式。注意到此时$H_3={\omega }_3=0$，同时对于轴对称物体有
$${\omega }_3(t)={\omega }_3(t_0)=0\text{\hspace{1em}(14)}$$

同时，根据欧拉方程，可得在此情形下
$${\omega }_3(t)={\omega }_3\left(t_0\right)=0\text{\hspace{1em}(15)}$$

这说明如果${\omega }_3=0$，那么${\omega }_1$和${\omega }_1$都是常数。这些常值角速度就是动量球赤道上的点。
对于$I_1=I_2=I_3$的情况，根据欧拉方程，有
$${\dot{\omega }}_1={\ddot{\omega }}_2={\ddot{\omega }}_3=0\text{\hspace{1em}(16)}$$

因此，所有的${\omega }_i$都是常数。从几何角度来看，这表明能量椭球变成与动量椭球一模一样的球。因此，球上的每一个离散的点都是两个球的交线。