3 非齐次线性微分方程与无量纲化

本文详细介绍了常系数二阶非齐次线性方程的求解方法,包括求解步骤、特解方法及特殊情况处理。通过实例讲解了不同非齐次项类型下的特解设定,并探讨了其在RLC电路和单摆运动中的应用。

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0.引言

  本节研究常系数二阶线性方程右边加入非齐次项的情况。非齐次项包括指数函数,三角函数或多项式函数的情况。

1.求解步骤

  对于非齐次线性二阶ODEx¨+p(t)x˙+q(t)x=g(t)(1)\ddot{x}+p(t) \dot{x}+q(t) x=g(t)\tag{1}x¨+p(t)x˙+q(t)x=g(t)(1)

g(t)≠0g(t)\neq 0g(t)=0,其求解分3步

  1. 求对应齐次方程通解xh(t)=c1x1(t)+c2x2(t)x_{h}(t)=c_{1} x_{1}(t)+c_{2} x_{2}(t)xh(t)=c1x1(t)+c2x2(t)
  2. 找到非齐次方程的一个特解xp(t)x_{p}(t)xp(t)
  3. 则非齐次方程通解为x(t)=xh(t)+xp(t)(2)x(t)=x_{h}(t)+x_{p}(t)\tag{2}x(t)=xh(t)+xp(t)(2)

2.求特解的方法

  求特解的方法为待定系数法,下面用例子来说明。
x¨−3x˙−4x=f(x)(3)\ddot{x}-3 \dot{x}-4 x=f(x)\tag{3}x¨3x˙4x=f(x)(3)

  1. f(x)f(x)f(x)指数函数,如x¨−3x˙−4x=3e2t\ddot{x}-3 \dot{x}-4 x=3 e^{2 t}x¨3x˙4x=3e2t。则令特解为x(t)=Ae2tx(t)=A e^{2 t}x(t)=Ae2t
  2. f(x)f(x)f(x)三角函数,如x¨−3x˙−4x=2sin⁡t\ddot{x}-3 \dot{x}-4 x=2 \sin tx¨3x˙4x=2sint,则令特解为x(t)=Acos⁡t+Bsin⁡tx(t)=A \cos t+B \sin tx(t)=Acost+Bsint
  3. f(x)f(x)f(x)多项式函数,如x+x−2x=t2x+x-2 x=t^{2}x+x2x=t2,则令特解为x(t)=At2+Bt+Cx(t)=A t^{2}+B t+Cx(t)=At2+Bt+C

3. 特殊情况

  如果非齐次项是齐次方程的一个解,则特解的形式在2节的基础上还需要乘ttt
:由于特解中与ttt相乘的部分h(t)h(t)h(t)满足齐次方程。将特解代入(1)后,包含ttt的项为t(h¨(t)+p(t)h˙(t)+q(t)t)=0t(\ddot{h}(t)+p(t) \dot{h}{(t)}+q(t) t)=0t(h¨(t)+p(t)h˙(t)+q(t)t)=0。因此结果不含有带ttt的项。

4.应用

4.1 RLC电路


  各物理量满足VC=q/C,VR=iR,VL=didtLV_{C}=q / C, \quad V_{R}=i R, \quad V_{L}=\frac{d i}{d t} LVC=q/C,VR=iR,VL=dtdiL

并且有i=dq/dti=d q / d ti=dq/dt。根据基尔霍夫定律,可得
Ld2qdt2+Rdqdt+1Cq=E0cos⁡ωt(4)L \frac{d^{2} q}{d t^{2}}+R \frac{d q}{d t}+\frac{1}{C} q=\mathcal{E}_{0} \cos \omega t\tag{4}Ldt2d2q+Rdtdq+C1q=E0cosωt(4)

定义自然频率为ω0=1/LC\omega_{0}=1 / \sqrt{L C}ω0=1/LC

4.1.1 无量纲化

  定义无量纲时间τ\tauτ和电荷量QQQ,
τ=ω0t,Q=ω02LE0q(5)\tau=\omega_{0} t, \quad Q=\frac{\omega_{0}^{2} L}{\mathcal{E}_{0}} q\tag{5}τ=ω0t,Q=E0ω02Lq(5)

则式(5)可化为d2Qdτ2+αdQdτ+Q=cos⁡βτ(6)\frac{d^{2} Q}{d \tau^{2}}+\alpha \frac{d Q}{d \tau}+Q=\cos \beta \tau\tag{6}dτ2d2Q+αdτdQ+Q=cosβτ(6)

其中,α\alphaαβ\betaβ被称为无量纲参数。
α=RLω0,β=ωω0(7)\alpha=\frac{R}{L \omega_{0}}, \quad \beta=\frac{\omega}{\omega_{0}}\tag{7}α=Lω0R,β=ω0ω(7)

  无量纲化,把式(4)中的五个参数R,L,C,E0 and ωR, L, C, \mathcal{E}_{0} \text { and } \omegaR,L,C,E0 and ω变成了式()中的两个无量纲参数α\alphaαβ\betaβ
:

1.无量纲化后,函数,自变量,参数都没有量纲。
2.无量纲化的具体方法可以根据想要的形式,利用待定系数法把无量纲的函数和自变量设出来。

4.2 单摆运动

模型建立遵循以下步骤

  1. 写矢量式
  2. 选定坐标系(包括坐标原点和基矢量)
  3. 将矢量式在坐标系下展开
    方程如下:

mlθ¨+clθ˙+mgsin⁡θ=F0cos⁡ωt(8)m l \ddot{\theta}+c l \dot{\theta}+m g \sin \theta=F_{0} \cos \omega t\tag{8}mlθ¨+clθ˙+mgsinθ=F0cosωt(8)

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