1. 线性定常系统
1.1齐次方程的解
考虑
n
n
n维线性定常系统状态方程
x
˙
(
t
)
=
A
x
(
t
)
+
B
u
(
t
)
，
x
(
t
0
)
=
x
0
，
t
⩾
t
0
(1)
\dot{\boldsymbol{x}}(t)=\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}(t)+\boldsymbol{B} \boldsymbol{u}(t)，\boldsymbol{x}(t_{0})=\boldsymbol{x}_{0}，t \geqslant t_{0}\tag{1}
x˙(t)=Ax(t)+Bu(t)，x(t0)=x0，t⩾t0(1)
齐次状态方程是指输入为零的状态方程，即
x ˙ ( t ) = A x ( t ) (2) \dot{\boldsymbol{x}}(t)=\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}(t)\tag{2} x˙(t)=Ax(t)(2)
这是一个向量微分方程，其解法与标量一阶微分方程解法类似。标量一阶微分方程的齐次方程为
x
˙
(
t
)
=
a
x
(
t
)
,
x
(
t
0
)
=
x
0
,
t
⩾
t
0
\dot{x}(t)=a x(t), \quad x\left(t_{0}\right)=x_{0}, \quad t \geqslant t_{0}
x˙(t)=ax(t),x(t0)=x0,t⩾t0
其解为
x
(
t
)
=
e
a
(
t
−
t
0
)
x
(
t
0
)
x(t)=\mathrm{e}^{a\left(t-t_{0}\right)} x\left(t_{0}\right)
x(t)=ea(t−t0)x(t0)
式中，指数函数可以展开为一无穷级数
e
a
(
t
−
t
0
)
=
1
+
a
(
t
−
t
0
)
+
1
2
!
a
2
(
t
−
t
0
)
2
+
⋯
+
1
n
!
a
n
(
t
−
t
0
)
n
+
⋯
=
∑
n
=
0
1
n
!
a
n
(
t
−
t
0
)
n
\mathrm{e}^{a\left(t-t_{0}\right)}=1+a\left(t-t_{0}\right)+\frac{1}{2 !} a^{2}\left(t-t_{0}\right)^{2}+\cdots+\frac{1}{n !} a^{n}\left(t-t_{0}\right)^{n}+\cdots=\sum_{n=0} \frac{1}{n !} a^{n}\left(t-t_{0}\right)^{n}
ea(t−t0)=1+a(t−t0)+2!1a2(t−t0)2+⋯+n!1an(t−t0)n+⋯=n=0∑n!1an(t−t0)n
与之类似，一阶向量微分方程的齐次方程
x
˙
(
t
)
=
A
x
(
t
)
\dot{\boldsymbol{x}}(t)=\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}(t)
x˙(t)=Ax(t)的解有如下形式
x
(
t
)
=
e
A
(
t
−
t
0
)
x
(
t
0
)
(3)
x(t)=e^{A\left(t-t_{0}\right)} x\left(t_{0}\right)\tag{3}
x(t)=eA(t−t0)x(t0)(3)
式中
e
A
(
t
−
t
0
)
=
I
+
A
(
t
−
t
0
)
+
1
2
!
A
2
(
t
−
t
0
)
2
+
⋯
+
1
n
!
A
n
(
t
−
t
0
)
n
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
1
n
!
A
n
(
t
−
t
0
)
n
(4)
\mathrm{e}^{\mathrm{A}\left(t-t_{0}\right)}={I}+A\left(t-t_{0}\right)+\frac{1}{2 !} A^{2}\left(t-t_{0}\right)^{2}+\cdots+\frac{1}{n !} A^{n}\left(t-t_{0}\right)^{n}+\cdots=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n !} A^{n}\left(t-t_{0}\right)^{n}\tag{4}
eA(t−t0)=I+A(t−t0)+2!1A2(t−t0)2+⋯+n!1An(t−t0)n+⋯=n=0∑∞n!1An(t−t0)n(4)
经过数学证明，当
A
\boldsymbol{A}
A为实数阵，则上式收敛。式(4)中的无穷级数收敛式叫做矩阵指数。
该解是系统输入
u
=
0
\boldsymbol{u}=0
u=0时的解，故又称为零输入解或零输入响应。
1.2 非齐次方程的解
非齐次方程的解为
x
(
t
)
=
e
A
(
t
−
t
0
)
x
(
t
0
)
+
∫
t
0
t
e
A
(
t
−
τ
)
B
u
(
τ
)
d
(5)
x(t)=\mathrm{e}^{A\left(t-t_{0}\right)} x\left(t_{0}\right)+\int_{t_{0}}^{t} \mathrm{e}^{A(t-\tau)} B u(\tau) \mathrm{d} \tag{5}
x(t)=eA(t−t0)x(t0)+∫t0teA(t−τ)Bu(τ)d(5)
可见由两部分组成。一部分是由初始状态引起的系统自由运动，叫做零输入响应。另一部分由控制输入 u ( t ) u(t) u(t)所产生的受控运动，叫做零状态响应。
1.3 线性定常系统的状态转移矩阵
状态转移矩阵起着状态转移的作用，用符号 Φ ( t , t 0 ) \Phi\left(t, t_{0}\right) Φ(t,t0)表示。一般而言，它不仅是时间 t t t的函数，也是初始时刻 t 0 t_0 t0的函数。因此它是 n × n n \times n n×n的二元时变函数矩阵。
定义
对于线性定常系统
x
˙
(
t
)
=
A
x
(
t
)
+
B
u
(
t
)
，
x
(
t
0
)
=
x
0
，
t
⩾
t
0
(6)
\dot{\boldsymbol{x}}(t)=\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}(t)+\boldsymbol{B} \boldsymbol{u}(t)，\boldsymbol{x}(t_{0})=\boldsymbol{x}_{0}，t \geqslant t_{0}\tag{6}
x˙(t)=Ax(t)+Bu(t)，x(t0)=x0，t⩾t0(6)称满足如下矩阵方程
Φ
˙
(
t
,
t
0
)
=
A
Φ
(
t
,
t
0
)
,
Φ
(
0
)
=
I
(7)
\dot{\Phi}\left(t,t_{0}\right)=A \Phi\left(t,t_{0}\right), \quad \Phi(0)=I\tag{7}
Φ˙(t,t0)=AΦ(t,t0),Φ(0)=I(7)
的解阵 Φ ( t − t 0 ) \Phi\left(t-t_{0}\right) Φ(t−t0)为系统的状态转移矩阵。易得 Φ ( t , t 0 ) = e A ( t − t 0 ) \Phi\left(t,t_{0}\right)=\mathrm{e}^{A\left(t-t_{0}\right)} Φ(t,t0)=eA(t−t0)。
2.线性时变系统
2.1 齐次方程的解
线性时变系统齐次方程可以表示为
x
˙
(
t
)
=
A
(
t
)
x
(
t
)
,
x
(
t
0
)
=
x
0
(8)
\dot{x}(t)=A(t) x(t), \quad x\left(t_{0}\right)=x_{0}\tag{8}
x˙(t)=A(t)x(t),x(t0)=x0(8)
其解为
x
(
t
)
=
{
I
+
∫
t
0
t
A
(
τ
)
d
τ
+
∫
t
0
t
A
(
τ
1
)
∫
t
0
τ
1
A
(
τ
2
)
d
τ
2
d
τ
1
+
∫
t
0
t
A
(
τ
1
)
∫
t
0
τ
1
A
(
τ
2
)
∫
t
0
τ
2
A
(
τ
3
)
d
τ
3
d
τ
2
d
τ
1
+
⋯
}
x
(
t
0
)
(9)
\begin{aligned} x(t)=&\left\{I+\int_{t_0}^{t} A(\tau) d \tau+\int_{t_0}^{t} A\left(\tau_{1}\right) \int_{t_{0}}^{\tau_{1}} A\left(\tau_{2}\right) d \tau_{2} d \tau_{1}\right.\\ &\left.+\int_{t_{0}}^{t} A\left(\tau_{1}\right) \int_{t_{0}}^{\tau_{1}} A\left(\tau_{2}\right) \int_{t_{0}}^{\tau_{2}} A\left(\tau_{3}\right) d \tau_{3} d \tau_{2} d \tau_{1}+\cdots\right\} x\left(t_{0}\right) \end{aligned}\tag{9}
x(t)={I+∫t0tA(τ)dτ+∫t0tA(τ1)∫t0τ1A(τ2)dτ2dτ1+∫t0tA(τ1)∫t0τ1A(τ2)∫t0τ2A(τ3)dτ3dτ2dτ1+⋯}x(t0)(9)
当
A
(
t
)
A(t)
A(t)和
∫
t
0
t
A
(
τ
)
d
τ
\int_{t_{0}}^{t} A(\tau) d \tau
∫t0tA(τ)dτ满足矩阵乘法可交换条件时，其解有以下闭合形式：
x
(
t
)
=
e
∫
t
0
t
A
(
t
)
d
τ
x
(
t
0
)
(10)
x(t)=e^{\int_{t_{0}}^{t} A(t) d \tau} x\left(t_{0}\right)\tag{10}
x(t)=e∫t0tA(t)dτx(t0)(10)
2.2 线性时变系统的状态转移矩阵
对于系统(8),称满足如下矩阵微分方程和初始条件
Φ
˙
(
t
,
t
0
)
=
A
(
t
)
Φ
(
t
,
t
0
)
,
Φ
(
t
,
t
0
)
=
I
(11)
\dot{\Phi}\left(t, t_{0}\right)=A(t) \Phi(t, t_0), \quad \Phi\left(t_, t_{0}\right)=\boldsymbol{I}\tag{11}
Φ˙(t,t0)=A(t)Φ(t,t0),Φ(t,t0)=I(11)
的解阵
Φ
(
t
,
t
0
)
\Phi\left(t_, t_{0}\right)
Φ(t,t0)为系统的状态转移矩阵。与式(9)相对比，得到状态转移矩阵
Φ
(
t
,
t
0
)
\Phi\left(t_, t_{0}\right)
Φ(t,t0)的表达形式为
Φ
(
t
,
t
0
)
=
I
+
∫
t
0
t
A
(
τ
)
d
τ
+
∫
t
0
t
A
(
τ
1
)
[
∫
t
0
τ
1
A
(
τ
1
)
d
τ
2
]
d
τ
1
+
⋯
,
(12)
\Phi\left(t, t_{0}\right)=I+\int_{t_{0}}^{t} A(\tau) d \tau+\int_{t_{0}}^{t} A\left(\tau_{1}\right)\left[\int_{t_{0}}^{\tau_1} A\left(\tau_{1}\right) d \tau_{2}\right] d \tau_{1}+\cdots, \quad\tag{12}
Φ(t,t0)=I+∫t0tA(τ)dτ+∫t0tA(τ1)[∫t0τ1A(τ1)dτ2]dτ1+⋯,(12)
2.3 非齐次方程的解
x ( t ) = Φ ( t , t 0 ) x 0 + ∫ t 0 t Φ ( t , τ ) B ( τ ) u ( τ ) d τ (13) x(t)=\Phi\left(t, t_{0}\right) x_{0}+\int_{t_0}^{t} \Phi(t, \tau) B(\tau) u(\tau) d \tau\tag{13} x(t)=Φ(t,t0)x0+∫t0tΦ(t,τ)B(τ)u(τ)dτ(13)
总结，评注
- 线性时变系统中状态转移矩阵依赖于初始时刻 t 0 t_0 t0，而线性定常系统状态转移矩阵只依赖时间差 t − t 0 t-t_0 t−t0,和初始时刻 t 0 t_0 t0没有直接关系。
- 线性定常系统的状态转移矩阵总可以定出其闭合形式的表达式。而线性时变系统一般没有闭合形式。
- 状态转移矩阵(定常/时变)的构成可以借助一阶线性(定常/时变)齐次微分方程组的基本解阵来构造。基本解阵的求取属于线性微分方程组的知识，以后写一篇文章专门整理。
参考文献
现代控制理论 张嗣瀛 高立群
扫一扫
被折叠的 条评论
为什么被折叠?
到【灌水乐园】发言
