5.拉普拉斯变换

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0.引言

拉普拉斯变换可以处理常系数ode当非齐次项为非连续或者脉冲函数的情形。

1.定义

函数 $f (x)$ 的拉普拉斯变换 $F(s)=L{f(t)}F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}$ 按照以下积分进行定义：
$F(s)=∫0∞e−stf(t)dt(1)F(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t} f(t) d t\tag{1}$

式中， $s$ 的值需使以上积分收敛。
拉普拉斯变换是一个线性变换(易证)，即 $L{c1f1(t)+c2f2(t)}=c1L{f1(t)}+c2L{f2(t)}(2)\mathcal{L}\left\{c_{1} f_{1}(t)+c_{2} f_{2}(t)\right\}=c_{1} \mathcal{L}\left\{f_{1}(t)\right\}+c_{2} \mathcal{L}\left\{f_{2}(t)\right\}\tag{2}$

1.1 例子

$L{eat}=∫0∞e−(s−a)tdt=−1s−ae−(s−a)t]0∞=1s−a(3)\begin{aligned} \mathcal{L}\left\{e^{a t}\right\} &=\int_{0}^{\infty} e^{-(s-a) t} d t \\ &\left.=-\frac{1}{s-a} e^{-(s-a) t}\right]_{0}^{\infty} \\ &=\frac{1}{s-a} \end{aligned}\tag{3}$

注：要使式(3)的积分收敛，需有 $s > a$

2.常系数微分方程的拉式变换

对于如下非齐次常系数二阶ode
$\ddot{x}+b \dot{x}+c x=g(t), \quad x(0)=x_{0}, \quad \dot{x}(0)=u_{0}\tag{4}$
两边取拉式变换，并考虑拉式变换是一种线性变换，可得
$\mathcal{L}\{\ddot{x}\}+b \mathcal{L}\{\dot{x}\}+c \mathcal{L}\{x\}=\mathcal{L}\{g\}\tag{5}$

函数导数的拉式变换可由分步积分求得：
$∫0∞e−stx˙dt=xe−st∣0∞+s∫0∞e−stxdt=sX(s)−x0(6)\int_{0}^{\infty} e^{-s t} \dot{x} d t=\left.x e^{-s t}\right|_{0} ^{\infty}+s \int_{0}^{\infty} e^{-s t} x d t=s X(s)-x_{0}\tag{6}$

$∫0∞e−stx¨dt=x˙e−st∣0∞+s∫0∞e−stx˙dt=−u0+s(sX(s)−x0)=s2X(s)−sx0−u0(7)\int_{0}^{\infty} e^{-s t} \ddot{x} d t=\left.\dot{x} e^{-s t}\right|_{0} ^{\infty}+s \int_{0}^{\infty} e^{-s t} \dot{x} d t=-u_{0}+s\left(s X(s)-x_{0}\right)=s^{2} X(s)-s x_{0}-u_{0}\tag{7}$

注:要使(6)(7)能够收敛，需要 $s > 0$ 。
则式(5)为
$a(s2X−sx0−u0)+b(sX−x0)+cX=G(8)a\left(s^{2} X-s x_{0}-u_{0}\right)+b\left(s X-x_{0}\right)+c X=G\tag{8}$

这是一个关于 $X = X (s)$ 的代数方程，容易求解。之后，对 $X = X (s)$ 进行拉式反变换来求 $x = x (t)$ 。
注：求解示意图

3.单位阶跃函数

单位阶跃函数 $u_{c}(t)$ 定义为
$uc(t)={0,t<c1,t≥c(9)u_{c}(t)=\left\{\begin{array}{ll} 0, & t<c \\ 1, & t \geq c \end{array}\right.\tag{9}$

要使上式有实际物理意义，需有 $c > 0$
阶跃函数的拉式变换为
$L{uc(t)}=∫0∞e−stuc(t)dt=e−css(9)\mathcal{L}\left\{u_{c}(t)\right\}=\int_{0}^{\infty} e^{-s t} u_{c}(t) d t=\frac{e^{-c s}}{s}\tag{9}$

要使上式积分收敛，需要 $s > 0$ 。

3.1 表示滞后函数

阶跃函数可以被用于表示函数 $f (t)$ 向 $t$ 的正方向平移 $c$ 后的函数(该函数和 $f (t)$ 相比滞后了 $c$ ):
$uc(t)f(t−c)={0,t<cf(t−c),t≥c(10)u_{c}(t) f(t-c)=\left\{\begin{aligned} 0, & t<c \\ f(t-c), & t \geq c \end{aligned}\right.\tag{10}$

其拉式变换为 $L{uc(t)f(t−c)}=∫0∞e−stuc(t)f(t−c)dt=e−csF(s)(11)\mathcal{L}\left\{u_{c}(t) f(t-c)\right\}=\int_{0}^{\infty} e^{-s t} u_{c}(t) f(t-c) d t=e^{-c s} F(s)\tag{11}$

3.2 表示分段函数

分段函数 $t≥c(12)f(t)=\left\{\begin{array}{ll} f_{1}(t), & \text { if } t<c \\ f_{2}(t), & \text { if } t \geq c \end{array}\right.\tag{12}$

可以利用单位阶跃函数写成
$f(t)=f1(t)+(f2(t)−f1(t))uc(t)(13)f(t)=f_{1}(t)+\left(f_{2}(t)-f_{1}(t)\right) u_{c}(t)\tag{13}$

4.狄拉克函数

用极限的方式进行定义：
$δ(t−c)=lim⁡ϵ→012ϵ(uc−ϵ(t)−uc+ϵ(t))(14)\delta(t-c)=\lim _{\epsilon \rightarrow 0} \frac{1}{2 \epsilon}\left(u_{c-\epsilon}(t)-u_{c+\epsilon}(t)\right)\tag{14}$

考虑到实际物理意义，一般有 $c > 0$ 。
函数图像如图所示：

其拉氏变换为
$L{δ(t−c)}=∫0∞e−stδ(t−c)dt=e−cs(15)\mathcal{L}\{\delta(t-c)\}=\int_{0}^{\infty} e^{-s t} \delta(t-c) d t=e^{-c s}\tag{15}$
狄拉克函数的三个性质如下：

$δ(ax)=1∣a∣δ(x)\delta(a x)=\frac{1}{|a|} \delta(x)$
$uc(x)=∫−∞xδ(x′−c)dx′u_{c}(x)=\int_{-\infty}^{x} \delta\left(x^{\prime}-c\right) d x^{\prime}$
$δ(x−c)=ddxuc(x)\delta(x-c)=\frac{d}{d x} u_{c}(x)$

利用函数的定义(14)容易证明。