6.幂级数解

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本文详细介绍了如何通过幂级数法求解二阶线性齐次微分方程y''+y=0的通解过程。通过对幂级数展开并求解系数递推公式，最终得到了通解y(x)=a0cosx+a1sinx，与解析解一致。

一个例子

求方程 $y′′+y=0y^{\prime \prime}+y=0$ 的通解。
设方程的解为如下幂级数形式
$y(x)=∑n=0∞anxn(1)y(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}\tag{1}$

代入方程，得 $∑n=2∞n(n−1)anxn−2+∑n=0∞anxn=0(2)\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_{n} x^{n-2}+\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}=0\tag{2}$ 重新整理得
$∑n=0∞((n+2)(n+1)an+2+an)xn=0(3)\sum_{n=0}^{\infty}\left((n+2)(n+1) a_{n+2}+a_{n}\right) x^{n}=0\tag{3}$

要使等式相等，则上式中 $x$ 各次幂的系数均为零。则有 $an+2=−an(n+2)(n+1),n=0,1,2,…(4)a_{n+2}=-\frac{a_{n}}{(n+2)(n+1)}, \quad n=0,1,2, \ldots\tag{4}$

由式可知，奇数和偶数项系数是各自成列的。具体的，对于偶数项系数有
$a0,a2=−12a0,a4=−14⋅3a2=14!a0(5)a_{0}, \quad a_{2}=-\frac{1}{2} a_{0}, \quad a_{4}=-\frac{1}{4 \cdot 3} a_{2}=\frac{1}{4 !} a_{0}\tag{5}$

对于奇数项系数有
$a1,a3=−13⋅2a1,a5=−15⋅4a3=15!a1(6)a_{1}, \quad a_{3}=-\frac{1}{3 \cdot 2} a_{1}, \quad a_{5}=-\frac{1}{5 \cdot 4} a_{3}=\frac{1}{5 !} a_{1}\tag{6}$

则幂级数解为
$y(x)=a0(1−x22!+x44!−…)+a1(x−x33!+x55!−…)=a0cos⁡x+a1sin⁡x(7)\begin{aligned} y(x) &=a_{0}\left(1-\frac{x^{2}}{2 !}+\frac{x^{4}}{4 !}-\ldots\right)+a_{1}\left(x-\frac{x^{3}}{3 !}+\frac{x^{5}}{5 !}-\ldots\right) \\ &=a_{0} \cos x+a_{1} \sin x \end{aligned}\tag{7}$