欧拉-潘索运动

欧拉运动

  无力矩状态下的刚体绕质心的惯性运动被称为欧拉情形。根据动量守恒和能量守恒定律，相对质心$O$的角动量模长以及动能均为常数，即
$$\begin{array}{rl}\mathbf{\omega }\cdot \mathbf{J}\cdot \mathbf{\omega }& =2T=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}\\ (\mathbf{J}\cdot \mathbf{\omega }{)}^2& =L^2=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}\end{array}\text{\hspace{1em}(1)}$$

上式是矢量式，与坐标系的选择无关。

坐标表达

  为了进一步分析角速度受到的约束，引入定义在质心$O$的主轴坐标系$Oxyz$,则式(1)在该坐标系下展开的形式为
$$J_x{\omega }_x^2+J_y{\omega }_y^2+J_z{\omega }_z^2=2T\text{\hspace{1em}(2)}$$

$$J_x^2{\omega }_x^2+J_y^2{\omega }_y^2+J_z^2{\omega }_z^2=L^2\text{\hspace{1em}(3)}$$

公式(2)(3)分别定义了两个椭球面。(2)被称为能量椭球，(3)被称为动量矩椭球。椭球限定了刚体角速度在本体某一方向上的模长，而这一约束与坐标系的选择无关。因此，能量椭球和动量矩椭球均以质心为原点，并且固联在刚体上。因此就可以把椭球看作刚体本身，椭球在空间中的姿态就是刚体自身的姿态，椭球的旋转就是刚体的旋转，刚体的角速度就是椭球的角速度。能量椭球和动量矩椭球的交线即是当前$T$,$L$情况下角速度$\mathbf{\omega }$在本体系下的矢量端点轨迹。

潘索几何解释

  上面分析了角速度在本体系下的轨迹。
  潘索给出了欧拉情形下角速度在空间中的运动解释。公式(1)写成分量的形式为，
$$\mathbf{\omega }\cdot \mathbf{L}=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}\text{\hspace{1em}(4)}$$

这说明角速度矢量$\mathbf{\omega }$在对于质心$O$的角动量$\mathbf{L}$方向上的投影是常数。由于$\mathbf{L}$是常矢量，在空间中保持不变。（由于刚体的运动可以分解为质心的平动和绕质心的转动。如今只考虑转动，因此可以把质心$O$固定在空间中。）这时，根据上述分析，角速度矢量$\mathbf{\omega }$的端点在一个垂直于角动量$\mathbf{L}$的平面$\pi$上运动。该平面在空间中固定，因此被称为不变平面。容易得到不变平面的两个重要性质：

1. 与质心的距离为$2T/L$
2. 垂直于角动量$\mathbf{L}$
   

（图1）

  下面从能量椭球(本体系)的角度再来审视不变平面。假定$P$点(${\omega }_x$,${\omega }_y$,${\omega }_z$)是能量椭球上角速度轨迹上的任意一点。将能量椭球的方程(2)改写为
$$F(x,y,z)=J_x{x}^2+J_y{y}^2+J_z{z}^2-2T\text{\hspace{1em}(5)}$$

则函数$F(x,y,z)$对$x$,$y$,$z$的偏导数在$P$点的值表示$P$点处能量椭球切平面${\pi }^{\prime }$的一组法线的方向
$${\left(\frac{\partial F}{\partial x}\right)}_P=2J_x{\omega }_x,{\left(\frac{\partial F}{\partial y}\right)}_P=2J_y{\omega }_y,{\left(\frac{\partial F}{\partial z}\right)}_P=2J_z{\omega }_z\text{\hspace{1em}(6)}$$

因为角动量$\mathbf{L}$在本体系下表示为$(J_x{\omega }_x,J_y{\omega }_y,J_z{\omega }_z)$,和式(6)对比可以发现，在$P$处的能量椭球的切平面${\pi }^{\prime }$的法向与角动量$\mathbf{L}$的方向平行，即切平面${\pi }^{\prime }$与角动量$\mathbf{L}$垂直。这说明，从本体系上看，当角速度矢量末端在惯性椭球表面的轨迹上变化时，位于矢量末端处的惯性椭球的切平面${\pi }^{\prime }$与角动量$\mathbf{L}$矢量垂直。与此同时，从空间上来看，角速度矢量末端在不变平面上运动时，矢量末端所在的不变平面也与$\mathbf{L}$矢量垂直。由于过一点与向量垂直的平面是唯一的，因此能量椭球上角速度轨迹上的各点切平面${\pi }^{\prime }$就是空间中的不变平面$\pi$。因此，从空间上来看，能量椭球在不变平面上滚动，能量椭球与不变平面的交点就是瞬时角速度矢量的末端。随着椭球的滚动，在椭球上形成的轨迹就是本体极迹，在不变平面上形成的轨迹就是空间极迹。在质心固定的前提下，能量椭球绕定点旋转，其瞬时角速度即是刚体角速度。因为和不变平面接触的点刚好位于瞬时转轴上，因此速度为零。这说明能量椭球的滚动是纯滚动。
  综上，无力矩的刚体姿态运动，可视为中心固定的能量椭球在空间固定的空间平面上的无滚动滑动。这种几何描述被称为欧拉潘索运动。

参考文献
陀螺力学 刘延柱
Dynamics of Multibody System Jens Wittenburg