2.齐次线性微分方程_线性齐次微分方程-优快云博客

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本文探讨了二阶微分方程的欧拉方法应用，叠加原理与Wronskian定理，详解了不同场景下的求解策略，包括常系数ODE的特性分析。

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0.引言

本节关于二阶微分方程，首先泛化欧拉方法到二阶。其次介绍了两个定理，叠加定理和Wronskian定理。

1.欧拉方法用于高阶微分方程

对于二阶微分方程:
$x¨=f(t,x,x˙)\ddot{x}=f(t, x, \dot{x})$

求解方法是化为一组一阶微分方程
$x˙=u(1)\dot{x}=u\tag{1}$

$u˙=f(t,x,u)(2)\dot{u}=f(t, x, u)\tag{2}$

其中 $u=x˙u=\dot{x}$ 。式(1）中的微分方程提供了曲线 $x = x (t)$ 的斜率，式(2)中的微分方程提供了曲线 $u = u (t)$ 的斜率。设初始值为 $u)=\left(x_{0}, u_{0}\right)$ ，则利用欧拉积分方法可以获得 $t=t_1$ 时刻的值：
$x1=x0+Δtu0u1=u0+Δtf(t0,x0,u0)(3)\begin{array}{l} x_{1}=x_{0}+\Delta t u_{0} \\ u_{1}=u_{0}+\Delta t f\left(t_{0}, x_{0}, u_{0}\right) \end{array}\tag{3}$
注：理解 $x˙\dot x$ 和 $x$ 是独立的。

2.叠加原理

考虑齐次(等号右边为零)二阶线性ode:
$x¨+p(t)x˙+q(t)x=0(4)\ddot{x}+p(t) \dot{x}+q(t) x=0\tag{4}$

有两个解 $X_{1}(t)$ 和 $X_{2}(t)$ ，则其线性组合
$x=c1X1(t)+c2X2(t)(5)x=c_{1} X_{1}(t)+c_{2} X_{2}(t)\tag{5}$ 也是方程(4)的解。(代入容易验证)

3. Wronskian

假定 $x=X_{1}(t)$ 和 $x=X_{2}(t)$ 是微分方程(4)的解。下面想把微分方程的通解写成:
$x=c1X1(t)+c2X2(t)(6)x=c_{1} X_{1}(t)+c_{2} X_{2}(t)\tag{6}$ 的形式。因此，对于任意一个特解(其初始条件如下)：
$x(t0)=x0,x˙(t0)=u0(7)x\left(t_{0}\right)=x_{0}, \quad \dot{x}\left(t_{0}\right)=u_{0}\tag{7}$ 都有对应的 $c_1$ , $c_2$ 使得下式成立 $c1X1(t0)+c2X2(t0)=x0,c1X˙1(t0)+c2X˙2(t0)=u0(8)c_{1} X_{1}\left(t_{0}\right)+c_{2} X_{2}\left(t_{0}\right)=x_{0}, \quad c_{1} \dot{X}_{1}\left(t_{0}\right)+c_{2} \dot{X}_{2}\left(t_{0}\right)=u_{0}\tag{8}$ 因此关于 $c_1$ , $c_1$ 的方程组(8)必有唯一解。因此有：
$W=∣X1(t0)X2(t0)X˙1(t0)X˙2(t0)∣=X1(t0)X˙2(t0)−X˙1(t0)X2(t0)≠0(9)W=\left|\begin{array}{ll} X_{1}\left(t_{0}\right) & X_{2}\left(t_{0}\right) \\ \dot{X}_{1}\left(t_{0}\right) & \dot{X}_{2}\left(t_{0}\right) \end{array}\right|=X_{1}\left(t_{0}\right) \dot{X}_{2}\left(t_{0}\right)-\dot{X}_{1}\left(t_{0}\right) X_{2}\left(t_{0}\right) \neq 0\tag{9}$ 上式中 $W$ 被称为Wronskian。如果Wronskian不等于零，则两个解 $X_1(t)$ 和 $X_2(t)$ 是线性独立的。所有的二阶线性齐次ode的解构成了一个二维矢量空间。

3.1 例1

对于所有的 $ω≠0\omega\neq0$ ,两个解 $X1(t)=cos⁡ωtX_{1}(t)=\cos \omega t$ 和 $X2(t)=sin⁡ωtX_{2}(t)=\sin \omega t$ 对任意的时刻 $t$ 都有非零的Wronskian

$W=(cos⁡ωt)(ωcos⁡ωt)−(−ωsin⁡ωt)(sin⁡ωt)=ω(10)W=(\cos \omega t)(\omega \cos \omega t)-(-\omega \sin \omega t)(\sin \omega t)=\omega\tag{10}$

3.2 例2

两个解 $X_{1}(t)=e^t$ 和 $X_{2}(t)=2e^t$ 对任意的时刻 $t$ 都有
$W=0(11)W=0\tag{11}$
说明这两个解不是线性独立的。

3.3 例3

对于 $X_{1}(t)=e^{at}$ 和 $X_{1}(t)=e^{bt}$ ，对应的Wronskian为
$W=(b−a)e(a+b)t(12)W=(b-a)e^{(a+b)t}\tag{12}$

因此两个解线性独立的充要条件是 $a≠ba\neq b$

4 齐次二阶常系数ODE

齐次二阶常系数ODE的形式为 $\ddot{x}+b \dot{x}+c x=0\tag{13}$

其求解转化为求特征方程
$r^{2}+b r+c=0\tag{14}$

注：这一转化是考虑指数函数性质后的一个自然而然的猜想。

4.1 两个不同的实根

此时，根据(12)，两个解线性独立，可以直接利用公式(6)获得通解。

4.2 复共轭根

假设复共轭根为
$r=λ+iμ,rˉ=λ−iμ(15)r=\lambda+i \mu, \quad \bar{r}=\lambda-i \mu\tag{15}$

对应的解为
$z(t)=eλteiμt,z(t)=eλte−iμ(16)z(t)=e^{\lambda t} e^{i \mu t}, \quad z(t)=e^{\lambda t} e^{-i \mu}\tag{16}$

上述的解是两个复数解。下面相求两个线性独立实数解：根据叠加原理，(16)的两个解的线性组合也是二阶齐次ode的解。因此可以构造如下两个实数解 $x1(t)=eλtcos⁡μt,x2(t)=eλtsin⁡μt(17)x_{1}(t)=e^{\lambda t} \cos \mu t, \quad x_{2}(t)=e^{\lambda t} \sin \mu t\tag{17}$

则通解为
$x(t)=eλt(Acos⁡μt+Bsin⁡μt)(18)x(t)=e^{\lambda t}(A \cos \mu t+B \sin \mu t)\tag{18}$

注：
1.特征方程的根的实部反映在式(18)解的指数部分，虚部反应在三角函数部分。
2.(17)的推导还可以这样看:
复数解(16)是方程的复数解，则其实部和虚部分别就是方程的两个实数解，即(17)。

4.3 相同的根

此时只有一个线性独立的解，需要求另外一个。所用的方法是研究特征方程由复共轭根 $r=λ±iμr=\lambda \pm i \mu$ 的情形，并令 $μ\mu$ 的极限为零。
此时通解为
$x(t)=eλt(Acos⁡μt+Bsin⁡μt)(19)x(t)=e^{\lambda t}(A \cos \mu t+B \sin \mu t)\tag{19}$

此时根据初始条件 $x(0)=x_{0}$ ， $x˙(0)=u0\dot{x}(0)=u_{0}$ ，A，B可写成初值 $x_{0}$ ， $u_{0}$ ， $λ\lambda$ ， $μ\mu$ 的函数。 $\mu)=e^{\lambda t}\left(x_{0} \cos \mu t+\frac{u_{0}-\lambda x_{0}}{\mu} \sin \mu t\right)\tag{20}$

$\mu)$ 说明这里只考虑 $μ\mu$ 的改变。
上式取极限 $μ→0\mu \rightarrow 0$ ，并利用极限 $lim⁡μ→0μ−1sin⁡μt=t(21)\lim _{\mu \rightarrow 0} \mu^{-1} \sin \mu t=t\tag{21}$ 式(21)中取极限过程中视 $t$ 不变。则有： $lim⁡μ→0x(t;μ)=eλt(x0+(u0−λx0)t)(22)\lim _{\mu \rightarrow 0} x(t ; \mu)=e^{\lambda t}\left(x_{0}+\left(u_{0}-\lambda x_{0}\right) t\right)\tag{22}$