椭圆积分函数和雅各比椭圆函数

椭圆积分函数

  函数$$u=F(\phi ,k)={\int }_0^{\phi }\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-k^2{\sin }^{2}x}}={\int }_0^{sin\phi }\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{(1-x^2)(1-k{x}^2)}}\text{\hspace{1em}(1)}$$

是用积分形式定义的函数，被称为第一类椭圆积分函数。其中$k$是参数，被称为椭圆积分函数的模长。通常认为$k$满足不等式$0⩽k<1$。式(1)的后两项是文献中常用的定义形式。由于在$\phi =0$时二式相等，且二式在定义域上的导数均相等，因此很容易看出二者表示的是同一个函数。该函数是单调递增的奇函数。函数在不同的模长$k$下的图像如下：

k=0

k=0.75

k=0.999 图1

  该函数在$\phi =\frac{\pi }{2}$处的值被称作第一类完全椭圆全积分
$$K(k)=F\left(\frac{\pi }{2},k\right)={\int }_0^{\pi /2}\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-k^2{\sin }^{2}x}}\text{\hspace{1em}(2)}$$

  当模长$k$确定后，该值是常数。

雅各比椭圆函数

  第一类椭圆积分函数的反函数称为幅值函数，表示为
$$\phi =\mathrm{a}\mathrm{m}u$$

则椭圆正弦函数$z=\mathrm{sn}(u,k)$和椭圆余弦函数$z=\mathrm{cn}(u,k)$定义如下：
$$z=\mathrm{sn}(u,k)=\sin \phi =\sin \mathrm{am}u,z=\mathrm{cn}(u,k)=\cos \phi =\cos \mathrm{am}u\text{\hspace{1em}(3)}$$

由
$$\begin{array}{r}u+4K(k)={\int }_0^{\phi }\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-k^2{\sin }^{2}x}}+4{\int }_0^{\pi /2}\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-k^2{\sin }^{2}x}}\\ ={\int }_0^{\phi }\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-k^2{\sin }^{2}x}}+{\int }_0^{2\pi }\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-k^2{\sin }^{2}x}}\\ ={\int }_0^{\phi }\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-k^2{\sin }^{2}x}}+{\int }_{\phi }^{2\pi +\phi }\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-k^2{\sin }^{2}x}}\\ ={\int }_0^{\phi +2\pi }\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-k^2{\sin }^{2}x}}\end{array}$$

可得

$$\mathrm{am}(u+4K(k))=\phi +2\pi$$

因此
$$\mathrm{sn}(u+4K(k))=\sin \mathrm{am}(u+4K(k))=\sin (\phi +2\pi )=\sin (\phi )=\mathrm{sn}(u)$$

可见椭圆正弦函数$z=\mathrm{sn}(u,k)$周期为$4K(k)$。同理，椭圆余弦函数$z=\mathrm{cn}(u,k)$的周期也为$4K(k)$。并且，椭圆正弦函数$z=\mathrm{sn}(u,k)$是奇函数，椭圆余弦函数$z=\mathrm{cn}(u,k)$是偶函数。可见，二者应该有分别与正弦，余弦函数类似的图像。
  定义幅值的$\delta$函数
$$z=\mathrm{dn}(u,k)=\frac{\mathrm{d}\phi }{\mathrm{d}u}=\sqrt{1-k^2{\sin }^2\phi }=\sqrt{1-k^2{\mathrm{sn}}^2(u,k)}\text{\hspace{1em}(4)}$$

该函数以$2K(k)$为周期。
  $\mathrm{sn}(u,k),\mathrm{cn}(u,k),\mathrm{dn}(u,k)$统称为雅各比椭圆函数，它们之间满足如下容易验证的恒等式。
$$\begin{array}{rl}& {\mathrm{sn}}^{2}u+{\mathrm{cn}}^{2}u=1\\ & {\mathrm{dn}}^{2}u+k^2{\mathrm{sn}}^{2}u=1\end{array}\text{\hspace{1em}(5)}$$

  三个雅各比椭圆函数在不同的模长$k$下的图像如下

k=0

k=0.5

k=0.75 图2

可见，当$k=0$时，$z=\mathrm{sn}(u,k)$,$z=\mathrm{cn}(u,k)$和$z=\mathrm{dn}(u,k)$分别变为$z=\sin u$,$z=\cos u$和$z=1$。
  函数图像与第一类完全椭圆积分K(k)的一般关系如图3所示。

图3

参考文献
理论力学 马尔契夫