A.虚数

  定义虚单位$i$是满足方程$z^2+1=0$的两个根之一。(另一个根是$-i$)。通常写为$i=\sqrt{-1}$。
复数$z$和其复共轭$\bar{z}$被写为
$$z=x+iy,\bar{z}=x-iy$$其中$x,y$是实数。$x$被称为实部，$y$是虚部，并记为：
$$x=\mathrm{Re}z,y=\mathrm{Im}z$$

二者可以$z$和$\bar{z}$的线性组合构造出来：
$$\mathrm{Re}z=\frac{1}{2}(z+\bar{z}),\mathrm{Im}z=\frac{1}{2i}(z-\bar{z})$$

  复数的指数函数可以用泰勒展开进行计算。$$\begin{array}{rl}{e}^{i\theta }& =1+(i\theta )+\frac{(i\theta {)}^2}{2!}+\frac{(i\theta {)}^3}{3!}+\frac{(i\theta {)}^4}{4!}+\frac{(i\theta {)}^5}{5!}\cdots \\ & =\left(1-\frac{{\theta }^2}{2!}+\frac{{\theta }^4}{4!}-\dots \right)+i\left(\theta -\frac{{\theta }^3}{3!}+\frac{{\theta }^5}{5!}+\dots \right)=\cos \theta +i\sin \theta \end{array}$$

上式即欧拉公式。
  复数$x+iy=z$能在一个复平面中表示，如图

可由$x=r\cos \theta$以及$y=r\sin \theta$，推得$$z=r(\cos \theta +i\sin \theta )=r{e}^{i\theta }$$