A.虚数

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分类专栏：给工程师的微分方程课

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定义虚单位 $i$ 是满足方程 $z^2+1=0$ 的两个根之一。(另一个根是 $- i$ )。通常写为 $i=−1i=\sqrt{-1}$ 。
复数 $z$ 和其复共轭 $zˉ\bar z$ 被写为
$\quad \bar{z}=x-i y$ 其中 $x, y$ 是实数。 $x$ 被称为实部， $y$ 是虚部，并记为：
$x=Re⁡z,y=Im⁡zx=\operatorname{Re} z, \quad y=\operatorname{Im} z$

二者可以 $z$ 和 $zˉ\bar z$ 的线性组合构造出来：
$Re⁡z=12(z+zˉ),Im⁡z=12i(z−zˉ)\operatorname{Re} z=\frac{1}{2}(z+\bar{z}), \quad \operatorname{Im} z=\frac{1}{2 i}(z-\bar{z})$

复数的指数函数可以用泰勒展开进行计算。 $eiθ=1+(iθ)+(iθ)22!+(iθ)33!+(iθ)44!+(iθ)55!⋯=(1−θ22!+θ44!−…)+i(θ−θ33!+θ55!+…)=cos⁡θ+isin⁡θ\begin{aligned} e^{i \theta} &=1+(i \theta)+\frac{(i \theta)^{2}}{2 !}+\frac{(i \theta)^{3}}{3 !}+\frac{(i \theta)^{4}}{4 !}+\frac{(i \theta)^{5}}{5 !} \cdots \\ &=\left(1-\frac{\theta^{2}}{2 !}+\frac{\theta^{4}}{4 !}-\ldots\right)+i\left(\theta-\frac{\theta^{3}}{3 !}+\frac{\theta^{5}}{5 !}+\ldots\right)=\cos \theta+i \sin \theta \end{aligned}$

上式即欧拉公式。
复数 $x + i y = z$ 能在一个复平面中表示，如图

可由 $\cos \theta$ 以及 $\sin \theta$ ，推得 $z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)=reiθz=r(\cos \theta+i \sin \theta)=r e^{i \theta}$