[unknown OJ] 客星璀璨之夜

最新推荐文章于 2024-03-17 16:01:12 发布

C202044zxy

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分类专栏：区间dp

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/C202044zxy/article/details/108940611

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这篇博客探讨了一种使用动态规划解决恒星碰撞问题的方法。博主详细介绍了如何通过状态转移来计算行星间碰撞的期望距离和，并利用前缀和优化算法，将时间复杂度降低到O(n^2)。此外，还提到了另一种未实现的解法思路，并给出了相关链接供读者参考。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

一、题目

点此看题

二、解法

这个样例我佛了，第二个等差数列，第三个等等差数列，没把我考试的错误测出来。

直接讲正解，设 $d p [i] [j]$ 为行星 $i$ 到 $j$ ，把他们撞完的期望距离和，理解一下这个状态，首先一定会剩下一个恒星，记第 $i$ 行星左边的恒星是 $i$ ，这样无论怎么撞都不会撞出恒星 $[i, j + 1]$

考虑转移，我们严格按照题目要求进行，枚举当前状态下第一个去撞击的行星，枚举他往左边撞还是右边撞，这样就产生了 $2 (j - i + 1)$ 种等概率的情况，这是左边的情况：
$d p [i] [j] = d p [i] [k - 1] + d p [k + 1] [j] + y [k] - E [i] [k - 1]$ 这是右边的情况： $d p [i] [j] = d p [i] [k - 1] + d p [k + 1] [j] + E [k + 1] [j] - y [k]$ 其中 $E [i] [j]$ 是 $[i, j]$ 中期望剩下来的位置，转移（左还是右，等概率）：
$E[i][j]=\frac{E[i][k-1]+E[k+1][j]}{2(j-i+1)}$ 注意 $E [i + 1] [i]$ 是有意义的，他表示第 $i + 1$ 个恒星的位置，暴力做时间复杂度是 $O(n^3)$ 的，观察发现好像可以用前缀和之类的东西优化，所以时间复杂度 $O(n^2)$

还有另一种思路，没有实现，但是贴一个讲解在这里插入图片描述
贴一个巨佬的博客，好像讲了这种做法：https://www.cnblogs.com/Arextre/p/13775589.html

#include <cstdio>
const int M = 3005;
const int MOD = 998244353;
#define int long long
int read()
{
	int x=0,f=1;char c;
	while((c=getchar())<'0' || c>'9') if(c=='-') f=-1;
	while(c>='0' && c<='9') {x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48);c=getchar();}
	return x*f;
}
int n,ans,inv[M],x[M],y[M],py[M],dp[M][M],E[M][M];
int s1[M][M],s2[M][M],pre[M][M],suf[M][M];
signed main()
{
	//freopen("3.in","r",stdin);
	//freopen("stars.out","w",stdout);
	n=read();
	inv[0]=inv[1]=1;
	for(int i=2;i<=n+1;i++)
		inv[i]=(MOD-MOD/i)*inv[MOD%i]%MOD;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		x[i]=read();
		y[i]=read();py[i]=(py[i-1]+y[i])%MOD; 
	}
	x[n+1]=read();
	E[1][0]=x[1];
	for(int i=1;i<=n;i++)
		E[i+1][i]=x[i+1];
	for(int i=n;i>=1;i--)
		for(int j=i;j<=n;j++)
		{
			/*
			for(int k=i;k<=j;k++)
			{
				E[i][j]=(E[i][j]+(E[i][k-1]+E[k+1][j])*inv[2])%MOD;
				dp[i][j]=(dp[i][j]+2*(dp[i][k-1]+dp[k+1][j]))%MOD;
				dp[i][j]=(dp[i][j]+y[k]-E[i][k-1])%MOD;
				dp[i][j]=(dp[i][j]+E[k+1][j]-y[k])%MOD;
			}
			E[i][j]=E[i][j]*inv[j-i+1]%MOD;
			dp[i][j]=dp[i][j]*inv[j-i+1]%MOD*inv[2]%MOD;
			*/
			pre[i][j]=(pre[i][j-1]+E[i][j-1])%MOD;
			suf[j][i]=(suf[j][i+1]+E[i+1][j])%MOD;
			E[i][j]=(pre[i][j]+suf[j][i])*inv[j-i+1]%MOD*inv[2]%MOD;
			
			dp[i][j]=(dp[i][j]+2*(s1[i][j-1]+s2[j][i+1]))%MOD;
			dp[i][j]=(dp[i][j]+(py[j]-py[i-1])-pre[i][j])%MOD;
			dp[i][j]=(dp[i][j]+suf[j][i]-(py[j]-py[i-1]))%MOD;
			dp[i][j]=dp[i][j]*inv[j-i+1]%MOD*inv[2]%MOD;
			
			s1[i][j]=(s1[i][j-1]+dp[i][j])%MOD;
			s2[j][i]=(s2[j][i+1]+dp[i][j])%MOD; 
		}
	printf("%lld\n",(dp[1][n]+MOD)%MOD);
}