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最新推荐文章于 2025-05-06 13:24:32 发布

C202044zxy

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分类专栏：斯特林数

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/C202044zxy/article/details/108927278

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本文解析了如何利用第二类斯特林数展开和组合数学计算，通过C++代码展示了如何计算特定形式的求和，涉及杨辉三角和组合数的应用。重点在于算法推导和代码实现，适合对组合数学和算法有深入理解的读者。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

一、题目

点此看题

二、解法

水题，乱推，第二类斯特林数展开次方式：
$\sum_{i=1}^nC(n,i)\sum_{j=0}^m C(i,j)\times j!\times S(m,j)$ $\sum_{i=1}^n\sum_{j=0}^mC(n,j)\times C(n-j,i-j)\times j!\times S(m,j)$ $\sum_{j=0}^mC(n,j)\times j!\times S(m,j)\sum_{i=j}^nC(n-j,i-j)$ 仔细观察，最后面那一项实际上是对杨辉三角一整行的求和，所以：
$\sum_{j=0}^mC(n,j)\times j!\times S(m,j)\times 2^{n-j}$ 然后有手就行，组合数第二维不大直接算（但是我第一回斯特林数写错了嘤嘤嘤）。

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int M = 5005;
const int MOD = 1e9+7;
#define int long long
int read()
{
	int x=0,f=1;char c;
	while((c=getchar())<'0' || c>'9') {if(c=='-') f=-1;}
	while(c>='0' && c<='9') {x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48);c=getchar();}
	return x*f;
}
int n,m,ans,A=1,S[M][M];
void init()
{
	S[0][0]=1;
	for(int i=1;i<=m;i++)
		for(int j=1;j<=i;j++)
			S[i][j]=(S[i-1][j-1]+j*S[i-1][j])%MOD;
}
int qkpow(int a,int b)
{
	int r=1;
	while(b>0)
	{
		if(b&1) r=r*a%MOD;
		a=a*a%MOD;
		b>>=1;
	}
	return r;
}
signed main()
{
	n=read();m=read();
	init();
	for(int j=0;j<=m;j++)
	{
		ans=(ans+A*S[m][j]%MOD*qkpow(2,n-j)%MOD)%MOD;
		A=A*(n-j)%MOD;
	}
	printf("%lld\n",ans);
}