[POJ 2888]Magic Bracelet

最新推荐文章于 2020-08-24 15:20:46 发布

原创最新推荐文章于 2020-08-24 15:20:46 发布

· 169 阅读

0 ·

版权

矩阵加速同时被 2 个专栏收录

24 篇文章

订阅专栏

polya

6 篇文章

订阅专栏

本文探讨了使用Polya定理解决环染色问题的方法，通过矩阵快速幂计算旋转后本质不同的染色方案数。针对大规模输入，文章提出了一种高效的算法实现，包括使用欧拉函数和矩阵运算，避免了长整型溢出问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

一、题目

题目描述

长度为 $n$ 的环 $m$ 染色，给定 $k$ 组不能挨在一起的颜色关系，求旋转后本质不同的方案数。

数据范围

$1\leq n\leq1e9$ ， $1\leq m\leq10$

二、解法

很明显是 $\text{polya}$ 吧，我们枚举 $n$ 的因数在用欧拉函数算答案，问题变成了不考虑本质不同的情况下算方案数。

$n$ 这么大，应该可以想到是矩阵快速幂吧， $a [i] [j]$ 初始都赋值为 $1$ ，把不能挨在一起的赋值为 $0$ ，然后就这个矩阵 $n$ 次方的对角线之和，因为是一个环，所以最后就是从 $i$ 转移到 $i$ 的方案数。

本题要卡常，不能开 $l o n g l o n g$ 哟。

#include <cstdio>
#include <cstring>
const int M = 40005;
const int jzm = 9973;
int read()
{
    int x=0,flag=1;
    char c;
    while((c=getchar())<'0' || c>'9') if(c=='-') flag=-1;
    while(c>='0' && c<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48),c=getchar();
    return x*flag;
}
int T,n,m,k,cnt,ans,vis[M],p[M];
struct Matrix
{
    int n,m,a[12][12];
    Matrix() {n=m=0;memset(a,0,sizeof a);}
    Matrix operator * (const Matrix &b) const
    {
        Matrix r;
        r.n=n;r.m=b.m;
        for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int j=1;j<=m;j++)
                for(int k=1;k<=b.m;k++)
                    r.a[i][k]=(r.a[i][k]+a[i][j]*b.a[j][k])%jzm;
        return r;
    }
}A,F;
void init(int n)
{
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!vis[i]) p[++cnt]=i;
        for(int j=1;j<=cnt && i*p[j]<=n;j++)
        {
            vis[i*p[j]]=1;
            if(i%p[j]==0) break;
        }
   }
}
Matrix qkpow(Matrix a,int b)
{
    Matrix r;
    r.n=r.m=a.n;
    for(int i=1;i<=a.n;i++)
        r.a[i][i]=1;
    while(b>0)
    {
        if(b&1) r=r*a;
        a=a*a;
        b>>=1;
    }
    return r;
}
int fspow(int a,int b)
{
    int r=1;
    while(b>0)
    {
        if(b&1) r=r*a%jzm;
        a=a*a%jzm;
        b>>=1;
    }
    return r;
}
int phi(int x)
{
    int r=x;
    for(int i=1;p[i]*p[i]<=x;i++)
        if(x%p[i]==0)
        {
            r=r/p[i]*(p[i]-1);
            while(x%p[i]==0) x/=p[i];
        }
    if(x>1) r=r/x*(x-1);
    return r%jzm;
}
int calc(int x)
{
    int res=0;
    F=qkpow(A,x);
    for(int i=1;i<=m;i++) res=(res+F.a[i][i])%jzm;
    res=res*phi(n/x)%jzm;
    return res;
}
signed main()
{
    init(4e4);
    T=read();
    while(T--)
    {
        n=read();m=read();k=read();
        A.n=A.m=m;ans=0;
        for(int i=1;i<=m;i++)
            for(int j=1;j<=m;j++)
                A.a[i][j]=1;
        while(k--)
        {
            int x=read(),y=read();
            A.a[x][y]=A.a[y][x]=0;//这里写错调了很久
        }
        for(int i=1;i*i<=n;i++)
            if(n%i==0)
            {
                ans=(ans+calc(i))%jzm;
                if(i*i!=n) ans=(ans+calc(n/i))%jzm;
            }
        printf("%d\n",ans*fspow(n%jzm,jzm-2)%jzm);
    }
}