[POJ 2409] Let it Bead

最新推荐文章于 2021-03-29 16:40:56 发布

C202044zxy

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分类专栏： polya

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/C202044zxy/article/details/105504146

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本文探讨了在给定长度的环上进行染色时，如何计算在翻转和旋转后本质不同的方案数量。通过使用Polya定理，文章详细解释了如何处理旋转和翻转操作，最终给出了一种高效的算法实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

一、题目

题目描述

有长度为 $n$ 的环 $m$ 染色，问翻转和旋转之后本质不同的方案数。

数据范围

$nm\leq32$

二、解法

$\text{polya}$ 版题，一共 $2 n$ 个置换。

首先考虑旋转，旋转 $i$ 次后的分解个数为 $\gcd(i,n)$ ，贡献为 $\sum_{i=1}^nm^{\gcd(i,n)}$

然后考虑翻转，分奇偶性讨论，如果为偶数，那么过两点有 $\frac{n}{2}$ 的贡献是 $m^{n/2+1}$ ，那么过空隙有 $\frac{n}{2}$ 的贡献是 $m^{n/2}$ ；如果为奇数，那么只能过一点和一个空隙，一共有 $n$ 个，贡献为 $m^{n/2+1}$

#include <cstdio>
#define int long long
int read()
{
    int x=0,flag=1;
    char c;
    while((c=getchar())<'0' || c>'9') if(c=='-') flag=-1;
    while(c>='0' && c<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48),c=getchar();
    return x*flag;
}
int n,m,ans;
int gcd(int a,int b)
{
    return !b?a:gcd(b,a%b);
}
int qkpow(int a,int b)
{
    int r=1;
    while(b>0)
    {
        if(b&1) r=r*a;
        a=a*a;
        b>>=1;
    }
    return r;
}
signed main()
{
    while(~scanf("%lld %lld",&m,&n) && n+m)
    {
        ans=0;
        if(!n)
        {
            puts("0");
            continue ;
        }
        for(int i=1;i<=n;i++)
            ans+=qkpow(m,gcd(i,n));
        if(n&1) ans+=n*qkpow(m,n/2+1);
        else ans+=(n/2)*qkpow(m,n/2)+(n/2)*qkpow(m,n/2+1);
        ans/=2*n;
        printf("%lld\n",ans);
    }
}