[BJOI2019]奥术神杖_bjoi2019」奥术神杖-优快云博客

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/C202044zxy/article/details/104667356

本文介绍了一种利用AC自动机和动态规划解决特定指数问题的方法，通过将问题转化为对数形式，使用二分查找优化解法，并详细解释了代码实现过程。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

一、题目

二、解法

首先 $k\sqrt{x}=x^{1/k}$ ，对于这种指数的问题我们可以用 $\ln$ 把它转化为系数，同时取 $\ln$ ：
$\ln ans=\frac{1}{c}\sum_{i=1}^c \ln{v[i]}$ 然后上式很像 $\ln$ 平均值的最大值，我们可以二分答案，那么我们只需要判断：
$\sum_{i=1}^c v[i]-mid>0$ 所以我们求出上式的最大值即可，这一部分可以直接套 $\text{AC}$ 自动机 $+ d p$ ，设 $f [i] [j]$ 为前 $i$ 个字符匹配到 $j$ 的最大值，暴力跳转移即可。最后的答案就是最优值路径的还原， $d p$ 时注意记录一下就行了。

时间复杂度 $O(10\times nm\times \log(\ln 1e9))$ ，贴个代码。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <queue>
#define eps 1e-6
#define inf 1e30
using namespace std;
const int M = 1505;
int read()
{
    int x=0,flag=1;char c;
    while((c=getchar())<'0' || c>'9') if(c=='-') flag=-1;
    while(c>='0' && c<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48),c=getchar();
    return x*flag;
}
int n,m,cnt,fail[M],c[M][10],num[M],g[M][M][2];
double sum[M],f[M][M];char t[M],s[M],str[M];
void ins()
{
    int p=0,len=strlen(s);
    for(int i=0;i<len;i++)
    {
        int v=s[i]-'0';
        if(!c[p][v]) c[p][v]=++cnt;
        p=c[p][v];
    }
    num[p]++;
    sum[p]+=log((double)read());
}
void build()
{
    queue<int> q;
    for(int i=0;i<10;i++) if(c[0][i]) q.push(c[0][i]);
    while(!q.empty())
    {
        int t=q.front();
        q.pop();
        sum[t]+=sum[fail[t]];
        num[t]+=num[fail[t]];
        for(int i=0;i<10;i++)
            if(c[t][i]) fail[c[t][i]]=c[fail[t]][i],q.push(c[t][i]);
            else c[t][i]=c[fail[t]][i];
    }
}
double dp(double v)
{
    for(int i=0;i<=cnt;i++)
        sum[i]-=v*num[i];
    for(int i=0;i<=n;i++)
        for(int j=0;j<=cnt;j++)
            f[i][j]=-inf;
    f[0][0]=0;
    for(int i=0;i<n;i++)
        for(int j=0;j<=cnt;j++)
        {
            if(f[i][j]==-inf) continue;
            if(t[i]=='.')
            {
                for(int k=0;k<10;k++)
                {
                    int to=c[j][k];
                    if(f[i+1][to]<f[i][j]+sum[to])
                    {
                        f[i+1][to]=f[i][j]+sum[to];
                        g[i+1][to][0]=j;
                        g[i+1][to][1]=k;
                    }
                }
            }
            else
            {
                int to=c[j][t[i]-'0'];
                if(f[i+1][to]<f[i][j]+sum[to])
                {
                    f[i+1][to]=f[i][j]+sum[to];
                    g[i+1][to][0]=j;
                    g[i+1][to][1]=t[i]-'0';
                }
            }
         }
    for(int i=0;i<=cnt;i++) sum[i]+=num[i]*v;
    int tmp=0;
    for(int j=1;j<=cnt;j++)
        if(f[n][j]>f[n][tmp])
            tmp=j;
    for(int i=n,p=tmp;i>=1;i--)
    {
        str[i-1]=g[i][p][1]+48;
        p=g[i][p][0];
    }
    return f[n][tmp];
}
int main()
{
    n=read();m=read();
    scanf("%s",t);
    while(m--)
    {
        scanf("%s",s);
        ins();
    }
    build();
    double l=0,r=log(1e9+5),mid,ans=0;
    while(r-l>eps)
    {
        mid=(l+r)/2;
        if(dp(mid)>0) ans=mid,l=mid;
        else r=mid;
    }
    dp(ans);
    printf("%s",str);
}