[poj1322]Chocolate——生成函数

最新推荐文章于 2025-03-30 11:00:00 发布

ylsoi

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分类专栏：生成函数

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题目大意：

一共有 $c$ 种糖果，取 $n$ 次，每次取到糖果种类都是等概率的，求有 $m$ 种糖果个数为奇数个的概率。

思路：

直接概率DP时间复杂度太高，卡常数也不太好卡。

将每次取出来的糖果看成是一个带有重复元素的排列，直接计算复合条件的排列数量。

考虑符合条件的最后的序列的考虑EGF（指数型生成函数），可得出现次数为偶数次的糖果的生成函数为：
$F_0(x)=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{x^{2i}}{(2i)!}=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$
出现奇数次的糖果的生成函数为：
$F_1(x)=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{x^{2i+1}}{(2i+1)!}=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$
可以得到最后的答案的生成函数为：
$F_1^{m}(x)\times F_0^{c-m}(x)=(\frac{e^x-e^{-x}}{2})^m\times(\frac{e^x+e^{-x}}{2})^{c-m}$
将 $e^x$ 看成是一个整体，然后两边分别二项式展开之后做卷积，然后再将 $e^x$ 展开即可得到第 $n$ 项系数。
$\begin{aligned} G(x)&=2^{-c}\times \sum_{i=0}^{m}(-1)^i{m\choose i}\times e^{(m-2i)x}\times \sum_{j=0}^{c-m}{c-m\choose j}\times e^{(2j-c+m)x}\\ &=2^{(-c)}\times \sum_{i=0}^{m}\sum_{j=0}^{c-m}(-1)^i{m\choose i}{c-m\choose j}\times e^{(2m-2i+2j-c)x}\\ &=2^{(-c)}\times \sum_{i=0}^{m}\sum_{j=0}^{c-m}(-1)^i{m\choose i}{c-m\choose j}\times \sum_{k=0}^{\infty}\frac{((2m-2i+2j-c)x)^k}{k!} \end{aligned}$
设第 $n$ 项的系数为 $a_n$ ，最后的答案为：
$\frac{a_n\times{c\choose m}\times n!}{2^c\times c^n}$
~~垃圾poj~~
坑点：
如果用实数类去计算，中间过程可能会爆精度，特别是中间的快速幂，建议将最后分母的那个 $c^m$ 移到系数的快速幂里面，这样会让中间过程的数值小一些。
好像用不了%lf，直接用%f即可。
交C++好像过不了。

/*=======================================
 * Author : ylsoi
 * Time : 2019.2.1
 * Problem : Chocolate
 * E-mail : ylsoi@foxmail.com
 * ====================================*/
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>

#define REP(i,a,b) for(int i=a,i##_end_=b;i<=i##_end_;++i)
#define DREP(i,a,b) for(int i=a,i##_end_=b;i>=i##_end_;--i)
#define debug(x) cout<<#x<<"="<<x<<" "
#define fi first
#define se second
#define mk make_pair
#define pb push_back
typedef long long ll;

using namespace std;

void File(){
    freopen("poj1322.in","r",stdin);
    freopen("poj1322.out","w",stdout);
}

template<typename T>void read(T &_){
	_=0; T fl=1; char ch=getchar();
	for(;!isdigit(ch);ch=getchar())if(ch=='-')fl=-1;
	for(;isdigit(ch);ch=getchar())_=(_<<1)+(_<<3)+(ch^'0');
	_*=fl;
}

const int maxn=1e6+10;
const int maxc=200+10;
int c,n,m;
double C[maxc][maxc],ans;

double qpow(double x,int y){
	double ret=1;
	while(y){
		if(y&1)ret=ret*x;
		x=x*x;
		y>>=1;
	}
	return ret;
}

void init(){
	C[0][0]=1;
	REP(i,1,200){
		C[i][0]=1;
		REP(j,1,i)C[i][j]=C[i-1][j-1]+C[i-1][j];
	}
}

int main(){
    File();
	init();
	while(~scanf("%d%d%d",&c,&n,&m)){
		if(!c)break;
		ans=0;
		if(m>c || m>n || (n-m)%2){
			printf("0.000\n");
			continue;
		}
		REP(i,0,m)REP(j,0,c-m)
			ans+=(i%2 ? -1 : 1)*C[m][i]*C[c-m][j]*qpow((2*m-2*i+2*j-c)*1.0/c,n);
		ans=ans*C[c][m]/qpow(2,c);
		printf("%.3f\n",ans);
	}
    return 0;
}