关于生成函数

定义

对于任意数列a0,a1,a2...an 即用如下方法与一个函数联系起来：

则称G(x)是数列的生成函数(generating function)。

例子

比较典型的是：

 

 

因为生成函数的x没有实际意义，我们可以任意取值。

（以下k为非负整数）

二项式定理： 

k为任意实数，即定理可扩展 ： (1+x)^(-k) = 1 + 2x + 3x^2 + 4*x^3 + ... 

证明：

引理 ： C(n,m) （从n里取m个数）当n<0， C(n,m) =(-1)^m *  C(-n+m-1 ,m)（数学归纳法） 

(1+x)^(-k) = (-x)^0 * C(-k,0) + (-x)^1 * C(-k,1) +  (-x)^2 * C(-k,2) + .. + (-x)^k * C(-k,k)

C(-k,0) = 1 *C(k-1,0) 

C(-k,1) = -1 * C(k,1)

...

发现负负抵消 ， 即证。

 

例题：

n=x1+x2+x3+...+xk有多少个非负整数解？

分析：这道题是学排列与组合的经典例题了。把每组解的每个数都加1，就变成n+k=x1+x2+x3+...+xk的正整数解的个数了。教材上或许会出现这么一个难听的名字叫“隔板法”：把n+k个东西排成一排，在n+k-1个空格中插入k-1个“隔板”。答案我们总是知道的，

就是C(n+k-1,k-1)。它就等于C(n+k-1,n)。它关于n的生成函数是g(x)=1/(1-x)^k。这个生成函数是怎么来的呢？

其实，它就是(1-x)的-k次方。把(1-x)^(-k)按照刚才的牛顿二项式展开，我们就得到了x^n的系数恰好是C(n+k-1,n)，因为C(-k,n)*(-x)^n=[(-1)^n*C(n+k-1,n)]*[(-1)^n*x^n]=C(n+k-1,n)x^n。

例题2: 

求斐波拉契数列的通项公式。

f(i) = f(i-1) + f(i-2) 

根据递推式，我们可以这样变化，显然有

 

然后自己脑补 。

https://www.cnblogs.com/zwfymqz/p/10511970.html 自己看。