[2007CQOI]余数求和——除法分块

本文介绍了一种计算G(n,k)的高效方法,其中G(n,k)定义为从1到n的所有正整数与k相除取余数之和。通过数学推导,我们将原始问题转化为更易于计算的形式,并利用除法分块技巧显著降低了计算复杂度。

题目大意

给出正整数n和k,计算G(n,k)=k mod 1+k mod 2+k mod 3++k mod nG(n,k)=k mod 1+k mod 2+k mod 3+…+k mod n的值,其中k mod i表示k除以i的余数。例如
G(10,5)=5 mod 1+5 mod 2+5 mod 3+5 mod 4+5 mod 5+5 mod 10=0+1+2+1+0+5+5+5+5+5=29G(10,5)=5 mod 1+5 mod 2+5 mod 3+5 mod 4+5 mod 5……+5 mod 10=0+1+2+1+0+5+5+5+5+5=29
题目的描述十分清楚,注意到G(n,k)G(n,k)可以化简为ni=1k mod i∑i=1nk mod i
因为取模的性质,所以可以继续化简

i=1nkiki=nki=1niki∑i=1nk−i∗⌊ki⌋=n∗k−∑i=1ni∗⌊ki⌋

前面一部分的值是可以直接算出来的,我们把后面一部分的表给打出来,就会发现一个规律,就是其中有相当一部分的连续的i的ki⌊ki⌋是相同的,那么我们便可以将每一部分相同的ikii∗⌊ki⌋ki⌊ki⌋给提取公因式,就会变成了ki(i+i+1+i+2+...kki)⌊ki⌋∗(i+i+1+i+2+...k⌊ki⌋),这就是所谓的除法分块了。最后的时间复杂是O(nn);
由于n可能大于k,所以在i大于k的时候要加一个判断,具体的代码如下
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<map>
#define REP(i,a,b) for(register int i=a;i<=b;++i)
#define DREP(i,a,b) for(register int i=a;i>=b;--i)
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn=1e7+10;
ll n,k,ans;
int main(){
    scanf("%lld%lld",&n,&k);
    ans=n*k;
    for(ll l=1,r;l<=n;l=r+1){//对于每一个可以整除分块的区间定义一个l和一个r
        if(l<=k)r=min((k/(k/l)),n);
        else r=n;//n>k时的判断
        ans-=(k/l)*(l+r)*(r-l+1)/2;//详情请见上面的公式
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}
评论
添加红包

请填写红包祝福语或标题

红包个数最小为10个

红包金额最低5元

当前余额3.43前往充值 >
需支付:10.00
成就一亿技术人!
领取后你会自动成为博主和红包主的粉丝 规则
hope_wisdom
发出的红包
实付
使用余额支付
点击重新获取
扫码支付
钱包余额 0

抵扣说明:

1.余额是钱包充值的虚拟货币,按照1:1的比例进行支付金额的抵扣。
2.余额无法直接购买下载,可以购买VIP、付费专栏及课程。

余额充值