除法分块及其应用

前言

除法分块，是数论题中一个比较常见的优化技巧，可以将某些\(O(n)\)算法优化成\(O(\sqrt n)\)。

主要思想

让我们来看一下这个式子：\(\sum_{i=1}^N\lfloor\frac Ni\rfloor\)

不难发现，在一定范围内\(\lfloor\frac Ni\rfloor\)的值是保持不变的（这个范围是\(i\sim\lfloor\frac N{\lfloor\frac Ni\rfloor}\rfloor\)）。

如果用\(l\)表示\(i\)，\(r\)表示\(\lfloor\frac N{\lfloor\frac Ni\rfloor}\rfloor\)，由于这段的值是一样的（均为\(\lfloor\frac Ni\rfloor\)），而个数又是已知的（即\(r-l+1\)个），所以我们可以快速算出这一段值的和为\((r-l+1)*\lfloor\frac Ni\rfloor\)。

也就是说，在值不变的情况下，我们是可以\(O(1)\)求解答案的。

而\(\lfloor\frac Ni\rfloor\)的值实际上总共只有大约\(\sqrt N\)种。

于是，我们就将\(O(N)\)优化至了\(O(\sqrt N)\)。

推广

但除法分块不只限于这一个方面，实际上，对于带整除的函数它也能搞。

如求\(\sum_{i=1}^N\mu(\lfloor\frac Ni\rfloor)\)。

我们可以像前面一样表示出\(i,l,r\)，则每次答案就是\((r-l+1)*\mu(\lfloor\frac Ni\rfloor)\)。

时间复杂度同样得到了极大的优化。

具体应用

有一道比较好的除法分块的例题：【BZOJ1257】[CQOI2007] 余数之和。

当然，除法分块的应用还是十分广泛的，例如莫比乌斯反演的题目中就常常可以见到它的身影：

【洛谷2257】YY的GCD

【BZOJ1101】[POI2007] Zap

【BZOJ3994】[SDOI2015] 约数个数和

这些都是比较经典的题目吧。

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