《最小割模型在信息学竞赛中的应用》——学习笔记

《最小割模型在信息学竞赛中的应用》学习笔记

基础

流网络的定义，容量限制，反对称性，流守恒性…

我们约定对于点集$X,Y$ ,令 $f(X,Y)=\sum_{u \in X}\sum_{v \in Y} f(u,v)$

$$\forall X,\quad f(X,X)=0 \\ \forall X,Y,\quad f(X,Y)=-f(Y,X) \\ \forall X,Y,Z,\ X \cap Y=\emptyset,\quad f(X \cup Y,Z)=f(X,Z)+f(Y,Z)$$
增广路，最大流，最小割…

需要注意的是通过割的净流是把反向边算在内的，而割的容量是不算的。

最小割的边都是满流边。满流边不一定都是最小割中的边。

最大流最小割定理：

$f$ 是 $G$ 的最大流 $\Leftrightarrow$ 残量网络不含增广路 $\Leftrightarrow$ 对 $G$ 的割 $[S,T]$ 有 $|f|=c[S,T]$

分数规划

形式化的定义：

$$Minimize \quad \lambda = f(x)= \frac {a(x)} {b(x)} (x \in S) \\ s.t. \ \forall x\in S,\ b(x)>0 \\ $$
其中的 $x$ 是向量，$S$ 是解空间。

设 $\lambda$ 为当前猜测最优值，构造函数

$$g(\lambda)=\min_{x \in S}\{ a(x)- \lambda b(x)\}$$
$Dinkelbach$ 定理: 设 $\lambda^*=f(x^*)$ 为最优解，有
$$g( \lambda)<0 \Leftrightarrow \lambda>\lambda^* \\ g( \lambda)=0 \Leftrightarrow \lambda=\lambda^* \\g( \lambda)>0 \Leftrightarrow \lambda<\lambda^*$$
大概就是，若 $a(x)-\lambda b(x)<0$ ,则 $\frac {a(x)}{b(x)}< \lambda$ … 通过 $g(\lambda)$ 符号验证，二分求答案。

0-1 分数规划是一个特例，比较常见。

就是解向量满足只有 $01$ ，可以表示为：

$$Minimize \quad \lambda=f(x)=\frac{\sum_{i} a_i x_i}{ \sum_i b_ix_i} \\ s.t. \quad \sum_i b_ix_i>0$$

最大权闭合图

定义一个有向图的闭合图是该有向图的一个点集，且该点集的所
有出边都还指向该点集。闭合图不一定是一个连通块。

给每个点分配一个权值，权值和最大的闭合图被称为最大权闭合图。

它体现的是一种从属，前提，顺序关系。

最大权闭合图的求法是转化成最小割模型：

原图每条有向边 $(u,v)$ 替换为 $c(u,v)=+\infty$ 。 对于所有 $w_x>0$ 加边 $c(S,x)=w_x$。 对于所有 $w_x<0$ 加边 $c(x,T)=-w_x$。

正确性：

为方便叙述，设 $V$ 表示原图点集，设 $V_1$ 表示选的闭合图，$V_2=V-V_1$ , $V^+$ 表示 $V$ 点集中权为正的点集，$V^-$ 是负的。

$$c[S,T]=\sum_{v \in V_2^+ } w_v+\sum_{v \in V_1^-}w_v \\ w(V_1)=\sum_{v \in V_1} w_v \\ w(V_1)=\sum_{v \in V^+} w_v - c[S,T]$$
要最大化 $w(V_1)$ ，即要最小化 $c[S,T]$ ，所以就能转化为最小割了。

最大密度子图

无向图的子图的密度：$D = \frac{|E|}{|V|}$

看成是分数规划问题，二分答案 $\lambda$ ，需要求

$$g(\lambda)=\max\{ |E|- \lambda |V| \}$$
先看二分的范围：显然有 $m < ans< \frac 1 n$ ，而且对于两个子图，其密度差不小于 $\frac 1 {n^2}$ 。所以二分的次数是 $O(\log n)$ 级别的，有点常数。

求 $g( \lambda)$ 一般有两种做法：

直接转化为最大闭合权图，一个点贡献 $-\lambda$ ，一条边贡献 $1$ ，取一条边的条件是其两个端点都取了。所以对原图每个点每条边建点，连一连就好了。这样图的规模是 $(n+m,n+m)$ 。

上面的做法比较直接，一般比较好的是这个方法，

$$\max\{ {|E'|-\lambda|V'|} \} = -\min\{\lambda|V'|-|E'|\}\\ =-\min\{ \sum_{v \in V'}\lambda- \Big( \frac {\sum_{v \in V'} d_v -c[V',\overline{V'}]}{2} \Big)\} \\ = -\frac 1 2 \min\{ \sum_{v \in V'}( 2\lambda-d_v)+c[V',\overline{V'}] \}\\ $$
相当与选一个点集 ，其中每个点贡献 $2\lambda-d_v$ ,剩余点贡献 $0$， 再加上一个割。

然后就可以转化为最小割问题啦。建图：

对于原图每条无向边 $u,v$，连 $c(u,v)=1,c(v,u)=1$

对于每个点 $v$ ，连 $c(s,v)=U+0,c(v,t)=U+2\lambda-d_v$ ，这里加上一个较大数 $U$ 是为了保证权非负，一般取 $U=m$ 。

这样图的规模就变小很多： $(n,n+m)$

最大密度子图带边权的推广

$$D=\frac{\sum_{e \in E} w_e}{|V|}$$

只需把 $d_v$ 换定义为关联边的权值和，把最小割建图中边的容量由 $1$ 换成 $w_e$ ，并调整 $U$, 可以取 $\sum_{e \in E} w_e$ 。

注意二分次数 $O(\log n)$ 就不成立了，而和边权大小有关，不过影响不大。

最大密度子图点与边均带权的推广

$$D=\frac{\sum_{v \in V}p_v+\sum_{e\in E}w_e }{|V|}$$

也是类似的：

$$\max\{ { \sum_{v \in V}p_v+\sum_{e\in E}w_e-\lambda|V'|} \} = -\min\{\sum_{v \in V'} (\lambda-p_v)-\Big( \frac {\sum_{v \in V'} d_v -c[V',\overline{V'}]}{2} \Big)\} \\ = - \frac 1 2 \min\{ \sum_{v \in V'}(2\lambda-2p_v-d_v)+c[V',\overline{V'}] \}$$
用上面的方法建图即可。

二分图最小点权覆盖集与最大点独立集

点覆盖集：是无向图 的一个点集，使得该图中所有边都至少有一个端点在该集合内。
’ VV ∈ (,) u v E∀ ∈，满足对于 ，都有
或 成立，即 ，’uV ∈ ’ vV ∈ ’ uV ∈ ’ vV ∈ 至少一个成立。形象地说是若干个点“覆盖”住了 与它们邻接的边，这些边恰好组成了原边集。

点独立集：是无向图的一个点集，使得任两个在该集合中的点在原图中都不相邻。或者说是导出子图为零图的点集。

最小点覆盖集：是在无向图中，点数少的点覆盖集。

最大点独立集：是在无向图 中，点数多的点独立集。

最小点权覆盖集，最大点权独立集，就是加了点权的。

以上两个问题在一般无向图中都是经典的NPC问题。

二分图的最小点权覆盖集求法：

就是转化成最小割，对于左边的点连 $c(s,v)=w_v$ 右边 $c(v,t)=w_v$ 。对于原无向边 $(u,v)$ ，连 $c(u,v)=+\infty$ 。

二分图的最小点权独立集求法：

$$!(u \in V' \text{ and }v \in V' ) \Leftrightarrow u\in \overline{V'} \text{ or } v\in \overline{V'}$$
可见点覆盖集与点独立集是互补的，若 $V$ 为点覆盖集，则 $V'$ 一定满足是点独立集，反之亦然。

所以最大化点覆盖集的权值和，就能最小化点独立集的权值和。