[容斥+Purfer编码] 51Nod1806 wangyurzee的树

最新推荐文章于 2021-10-17 10:33:03 发布

Lynstery

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分类专栏： --------------数学相关------------ 容斥 prufer编码 -------------图论---------------

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容斥

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很久以前看过 $Purfer$ 但忘完了…补一补…
$m$ 只有 $17$ ，所以想到暴力容斥。而确定一些节点的度的生成树个数可以直接用 $Purfer$ 解决。
具体来说，若有 $cnt$ 个点的度数有约束，分别为 $v_1,v_2....v_{cnt}$ 。总方案为：

(n - 2 - \sum (v i - 1)) n - c n t * \prod i = 1 c n t (\sum c n t k = 1 ( v k - 1 ) v i - 1) = (n - 2 - \sum (v i - 1)) n - c n t * ( n - 2 ) ! \prod ( v i - 1 ) ! ( n - 2 - \sum ( v i - 1 ) ) !

${(n-2-\sum(v_i-1))}^{n-cnt}*\prod_{i=1}^{cnt} {\sum_{k=1}^{cnt}(v_k-1) \choose v_i-1}={(n-2-\sum(v_i-1))}^{n-cnt}*\frac{(n-2)!}{\prod(v_i-1)!(n-2-\sum(v_i-1))!}$

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define Fir first
#define Sec second
#define mp(x,y) make_pair(x,y)
using namespace std;
typedef long long LL;
const int maxn=1000005,MOD=1000000007;
LL ans,fac[maxn],inv[maxn],fac_inv[maxn];
bool vis[20];
inline LL C(int n,int m){ return (n<m||n<0||m<0)?0:fac[n]*fac_inv[m]%MOD*fac_inv[n-m]%MOD; }
int n,m,a[maxn];
pair<int,int> q[20];
inline LL Pow(LL a,int b){
    LL res=1;
    for(;b;b>>=1,a=a*a%MOD) if(b&1) res=(res*a)%MOD;
    return res;
}
int main(){
    freopen("51nod1806.in","r",stdin);
    freopen("51nod1806.out","w",stdout);
    fac[0]=1; for(int i=1;i<=1000000;i++) fac[i]=fac[i-1]*i%MOD;
    inv[1]=1; for(int i=2;i<=1000000;i++) 
    inv[i]=(LL)(MOD-MOD/i)*inv[MOD%i]%MOD;
    fac_inv[0]=1; for(int i=1;i<=1000000;i++) fac_inv[i]=fac_inv[i-1]*inv[i]%MOD;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=m;i++) scanf("%d%d",&q[i].Fir,&q[i].Sec);
    if(n==1){
        if(m==1) return printf("0"),0;
        return printf("1"),0; 
    }
    for(int s=0;s<=(1<<m)-1;s++){
        LL _sum=0,_prod=1,cnt=0; bool pd=true;
        memset(vis,0,sizeof(vis));
        for(int i=1;i<=m&pd;i++) if((s>>i-1)&1){
            if(vis[q[i].Fir]) pd=false; vis[q[i].Fir]=true;
            _sum+=q[i].Sec-1; (_prod*=fac_inv[q[i].Sec-1])%=MOD; cnt++;
        }
        if(!pd) continue;
        if(n-2-_sum<0||n-cnt<0) continue; 
        (ans+=(LL)((cnt&1)?-1:1)*fac[n-2]*fac_inv[n-2-_sum]%MOD*_prod%MOD*Pow(n-cnt,n-2-_sum)%MOD)%=MOD;
        //printf("%lld\n",(ans+MOD)%MOD);
    }
    printf("%d\n",(ans+MOD)%MOD);
    return 0;
}