[容斥] Codeforces#428 (Div. 2) 839D. Winter is here

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本文介绍了一种求解特定数集所有非空子集权值和的算法，通过容斥原理实现，适用于数字范围不大于100万的情况。文章详细解释了算法思路，并给出了具体实现代码。

题意

给出一个数集，求所有非空子集的权值和。
定义一个集合的权值为：若所有元素的gcd=1则权值为0，否则权值为所有元素的gcd乘以集合大小。
$n \le 100000，数字范围 \le 1000000$

题解

其实是道挺简单的题目，但是因为之前没做过类似的 $gcd$ 的容斥的题，所以当时没做出来。
有这样一个显然的东西：考虑所有d的倍数的数构成的集合，其任意一个子集的所以数 $gcd$ 一定为 $d,d*2,d*3...$
根据这个原理就可以容斥了。
设 $res[i]$ 为所有 $gcd$ 等于 $i$ 的集合的长度的和。最后答案就是 $\sum_i res[i]*i$ 。
怎么求 $res[i]$ ?
$res[i]=[i的倍数的数构成的集合的所有子集的大小和]-res[i*2]-res[i*3]-res[i*4]...$
记是 $i$ 的倍数的数有 $k$ 个， $[i的倍数的数构成的集合的所有子集的大小和]$ 就等于:

\sum i = 1 k i \times (k i) = \sum i = 1 k i * k ! i ! * ( k - i ) ! = \sum i = 1 k k \times (k - 1 i - 1) = k * 2 k - 1

$\sum_{i=1}^k i\times {k \choose i}=\sum_{i=1}^k \frac{i*k!}{i!*(k-i)!}=\sum_{i=1}^k k\times {k-1 \choose i-1}=k*2^{k-1}$
然后直接做就好了。复杂度就是那个调和级数，得

O(nlogn) $O(n \log n)$ 。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxv=1000005,MOD=1000000007;
typedef long long LL;
int n,m,a[maxv],cnt[maxv],res[maxv],ans;
LL pw2[maxv];
int main(){
    //freopen("cf839D.in","r",stdin);
    //freopen("cf839D.out","w",stdout);
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int x; scanf("%d",&x); 
        m=max(m,x); a[x]++; 
    }
    pw2[0]=1; for(int i=1;i<=n;i++) pw2[i]=pw2[i-1]*2%MOD;
    for(int i=2;i<=m;i++)
     for(int j=1;(LL)i*j<=m;j++) cnt[i]+=a[i*j];
    for(int i=m;i>=2;i--){
        res[i]=pw2[cnt[i]-1]*cnt[i]%MOD;
        for(int j=2;(LL)i*j<=m;j++) res[i]=(res[i]+(MOD-res[i*j]))%MOD;
        ans=(ans+((LL)res[i]*i)%MOD)%MOD;
    }
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}