[组合容斥] Project Euler 595 Incremental Random Sort

最新推荐文章于 2020-06-23 11:09:10 发布

原创最新推荐文章于 2020-06-23 11:09:10 发布 · 368 阅读

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本文介绍了一种计算随机排列期望操作次数的方法，利用递推公式结合概率论和组合数学的知识，通过容斥原理求解特定条件下不合并的排列数量，并给出了一段C++实现代码。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

设 $S(n)$ 表示 $n$ 的随机排列的期望操作次数。显然有递推式：

S (n) = \sum i = 2 n P n, i (S (i) + 1), S (n) = \sum n - 1 i = 2 P n , i ( S ( i ) + 1 ) + P n , n 1 - P n , n

$S(n)=\sum_{i=2}^n P_{n,i}(S(i)+1),\ \ S(n)=\frac{\sum_{i=2}^{n-1} P_{n,i}(S(i)+1)+P_{n,n}}{1-P_{n,n}}$
其中

Pn,m $P_{n,m}$ 表示

n $n$ 的随机排列，合并成

m $m$ 个的概率。怎么求？考虑组成

m $m$ 个块有

(n−1m−1) ${n-1\choose m-1}$ 种，所以我们就需要求

g[i] $g[i]$ 表示

i $i$ 的排列有几种满足完全不合并。则

Pn,m=(n−1m−1)∗g[m]n! $P_{n,m}=\frac { {n-1\choose m-1}*g[m] }{n!}$ 。
怎么求

g[n] $g[n]$ 呢? 要任意相邻位置都满足不连续，可以用容斥。枚举至少有几个位置连续：

g [n] = \sum i = 0 n - 1 (- 1) j (n - 1 i) * (n - i)!

$g[n]=\sum_{i=0}^{n-1} (-1)^j { n-1 \choose i }*(n-i)!$

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int maxn=2005,MOD=1e9+7;
int n;
LL S[maxn],fac[maxn],inv[maxn],fac_inv[maxn],p[maxn][maxn],g[maxn];
LL C(int n,int m){ if(n<m) return 0; return fac[n]*fac_inv[n-m]%MOD*fac_inv[m]%MOD; }
LL Pow(LL a,int b){
    LL res=1; a=(a%MOD+MOD)%MOD;
    for(;b;b>>=1,a=a*a%MOD) if(b&1) res=(res*a)%MOD;
    return res;
}
int main(){
    freopen("hhhoj29.in","r",stdin);
    freopen("hhhoj29.out","w",stdout);
    fac[0]=1; for(int i=1;i<=2000;i++) fac[i]=fac[i-1]*i%MOD;
    inv[1]=1; for(int i=2;i<=2000;i++) inv[i]=(LL)(MOD-MOD/i)*inv[MOD%i]%MOD;
    fac_inv[0]=1; for(int i=1;i<=2000;i++) fac_inv[i]=fac_inv[i-1]*inv[i]%MOD;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=2;i<=n;i++)
     for(int j=0;j<=i-1;j++) (g[i]+=C(i-1,j)*fac[i-j]*((j&1)?-1:1)%MOD)%=MOD;
    for(int i=1;i<=n;i++)
     for(int j=1;j<=n;j++) p[i][j]=C(i-1,j-1)*g[j]%MOD*fac_inv[i]%MOD;
    S[1]=0;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        LL res=p[i][i]; for(int j=2;j<=i-1;j++) (res+=(S[j]+1)*p[i][j]%MOD)%=MOD;
        S[i]=res*Pow(1-p[i][i],MOD-2)%MOD;
    }
    printf("%d\n",(S[n]+MOD)%MOD);
    return 0;
}