[结论] LibreOJ #520. 「LibreOJ β Round #3」绯色 IOI（开端）

最新推荐文章于 2020-05-03 15:44:40 发布

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本文探讨了一种特殊的二路取数问题，通过将数值放置于数轴并定义特定的距离概念，得出一种高效的求解策略。文中提出一个有趣且强有力的结论：除了最两端的点外，其余相邻点不会出现在同一条路径上，并给出了该结论的证明过程。最后，通过具体的C++代码实现了这一策略。

题意

戳这里

题解

这是一道结论题。
我们先把数放到数轴上考虑。定义两个点的距离为几何上的距离的平方。
我们可以把一个回路看作两条从 $1$ 到 $n$ 的不相交的路径。
有一种经典的二路取数的 $O(n^2)DP$ ，但是会 $T$ 掉，且很难进一步优化。
怎么办呢?只能观察性质了，这里有一个很强的结论：
除了最两端的 $(1,2)$ 和 $(n-1,n)$ ，其他两个相邻的点一定不属于同一条路径。
证明如下：
这里写图片描述
显然有 $a^2+b^2+y^2 \ge c^2+d^2+x^2$ ，把 $x=a+b,y=c+d$ 带入即可得到。

知道这个结论就是傻逼题了。
直接连边： $(1,2)，(n-1,n)，(i,i+2)\quad i=1,2,...,n-2$

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=100005;
typedef long long LL;
int n,a[maxn];
LL ans;
LL sqr(LL x){ return x*x; }
int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
    sort(a+1,a+1+n);
    ans+=sqr(a[1]-a[2])+sqr(a[n-1]-a[n]);
    for(int i=1;i<=n-2;i++) ans+=sqr(a[i]-a[i+2]);
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}