[bzoj1009][HNOI2008]GT考试——动态规划+KMP+矩阵快速幂

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KMP

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本文介绍了一种用于GT考试准考证号生成的有效算法。该算法通过动态规划结合KMP算法，避免生成包含不吉利数字序列的准考证号。使用矩阵快速幂优化状态转移过程，确保了算法效率。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目大意：

阿申准备报名参加GT考试，准考证号为N位数X1X2…Xn(0<=Xi<=9),他不希望准考证号上出现不吉利的数字。他的不吉利数学A1A2…Am(0<=Ai<=9)有M位，不出现是指X1X2…Xn中没有恰好一段等于A1A2…Am. A1和X1可以为0。

思路：

显然可以构造这样一个dp，设dp[i][j]为到第i个且目前和不吉利串的最大匹配长度为j的方案数，设g[k][j]为在k个字符已经匹配的情况下添加一个字符使得匹配变为j个字符的方案数，于是可以得到状态转移方程：
$dp[i][j]=∑k=0mdp[i−1][k]×g[k][j]\\dp[i][j]=\sum_{k=0}^{m}dp[i-1][k]\times g[k][j]$
至于g数组可以直接利用KMP算法本身的特性来求解，这个转移每一次的形式是固定的，直接矩阵快速幂优化即可。

#include<bits/stdc++.h>

#define REP(i,a,b) for(int i=a,i##_end_=b;i<=i##_end_;++i)
#define DREP(i,a,b) for(int i=a,i##_end_=b;i>=i##_end_;--i)
typedef long long ll;

using namespace std;

void File(){
	freopen("bzoj1009.in","r",stdin);
	freopen("bzoj1009.out","w",stdout);
}

const int maxm=20+10;
int n,m,pat[maxm],nex[maxm];
ll mod,g[maxm][maxm],dp[maxm][maxm],ans;

void get_nex(){
	nex[1]=nex[2]=1;
	REP(i,2,m){
		int p=nex[i];
		while(p!=1 && pat[p]!=pat[i])p=nex[p];
		if(pat[p]==pat[i])nex[i+1]=p+1;
		else nex[i+1]=1;
	}
	REP(i,1,m+1)REP(x,0,9){
		int p=i;
		while(p!=1 && pat[p]!=x)p=nex[p];
		if(pat[p]!=x)--p;
		++g[i-1][p];
	}
}

struct Matrix{
	ll val[maxm][maxm];
	Matrix(){memset(val,0,sizeof(val));}
	Matrix operator * (const Matrix & tt) const {
		Matrix ret;
		REP(i,0,m-1)REP(j,0,m-1)REP(k,0,m-1)
			ret.val[i][j]=(ret.val[i][j]+val[i][k]*tt.val[k][j])%mod;
		return ret;
	}
};

Matrix qpow(Matrix x,int y){
	Matrix ret;
	REP(i,0,m-1)ret.val[i][i]=1;
	while(y){
		if(y&1)ret=ret*x;
		x=x*x;
		y>>=1;
	}
	return ret;
}

void work(){
	scanf("%d%d%lld",&n,&m,&mod);
	REP(i,1,m)scanf("%1d",&pat[i]);
	get_nex();
	Matrix ma,mb;
	REP(i,0,m-1)REP(j,0,m-1)ma.val[i][j]=g[i][j];
	REP(i,0,m-1)mb.val[i][i]=1;
	ma=qpow(ma,n);
	REP(i,0,m-1)ans=(ans+ma.val[0][i])%mod;
	printf("%lld\n",ans);
}

int main(){
	File();
	work();
	return 0;
}