[M数学] lc2829. k-avoiding 数组的最小总和(推公式+贪心模拟+好题)

1. 题目来源

链接：2829. k-avoiding 数组的最小总和

• 参考：灵神题解

前置题：

• xxx

题单：

• 待补充

2. 题目解析

2025年03月27日00:01:32

方法一：贪心模拟

• 依据两数之和的思想，从 i=1 开始填，总共需要填 n 个数。
• 如果当前的 i 不可用，那就一直 i++，找到一个可用的 i
• 如果 k < i 就把 k-i 标记为不可用，因为此时 i 是被选中的数，对应的 k-i 就不可被选。
• 累计答案即可。

这个贪心模拟的思路很不错哈，能够快速解决本题。一开始想的时候想到了二数之和，但没有考虑到这个写法。

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方法二：数学解法

显然本题有数学解法，自己在考虑写的时候也是往这边在想，最终并没有推导的很完善吧，在一些边界情况下没有统一处理，还是分情况讨论的。当时的思路是

• 通过双指针找到构成 k 的两个最近的数对，比如 7: {1,6},{2,5},{3,4} 那么就需要找到 {3,4} 这个数对。
• 因为 4 及它后面的所有数 都要进行累加，这个累加的幅度就是 3。此时 4 应该从 7 开始，因为如果从 6 开始是没有意义的，{1,6} 仍然会等于 k。所以需要在最近的这个数对作为分界点，将后续的数字进行累加。就可以了。

这里有一些奇偶性的判断吧，比如

• n = 5, K=6 就可以有 {1,5}, {2,4}, {3, 3}… 那么肯定就是 {1,2,3,6,7}, k//2 = 3
• n=5,K=5 就可以有 {1,4}, {2,3}，那么肯定就是 {1,2,5,6,7}, k // 2 = 2

这个分界点的位置就很关键，记为 m

• m = min(k//2, n) k 的下取整。这里可能 k 很大，即便 k 除二后仍旧大于 n，那么 n 就是分界点。
• 那么数组就被分成 1,2,3,…,m、k,k+1,k+2,…,k+n-m-1
• 两段等差数列求和公式即可计算，（首项+尾项）*（项数）/ 2 即可。

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• 时间复杂度：$O(1)$
• 空间复杂度：$O(1)$ 返回值不计算

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方法一：贪心模拟

func minimumSum(n int, k int) int {
    res := 0
    m := map[int]bool{}
    i := 1
    for n > 0 {
        for m[i] {
            i ++ 
        }

        if k > i {
            m[k - i] = true
        }
        res += i
        i ++
        n -- 
    }
    return res
}

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方法二：数学公式

func minimumSum(n int, k int) int {
    m := min(k / 2, n)
    return (1 + m) * m / 2 + (k + k + n - m - 1) * (n - m) / 2
}