Description定义：f(x)=∑d∣n∣μ(d)∣ f(x)=\sum_{d|n}|\mu(d)| f(x)=d∣n∑​∣μ(d)∣F(n,m)=∑i=1mf(in)F(n,m)=\sum_{i=1}^mf(in)F(n,m)=i=1∑m​f(in)答案要求Ans=F(n,m)Ans=F(n,m)Ans=F(n,m)n,m≤107n,m\leq10^7n,m≤107Solution显然的，f(x)f(x)f(x)是一个积性函数，即f(xy)=f(x)f(y),当gcd⁡(x,y)=1f

Description求 ∑i=1n∑j=1ngcd(i,j)\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\gcd(i,j)Solution用反演，过程省略， Ans∑d=1nd∗∑i=1⌊ni⌋μ(i)⌊nid⌋2Ans\sum_{d=1}^n d*\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{i}\rfloor}\mu(i)\lfloor\frac{n}{id}\rfloor^

Description求 ∑i=1nφ(i)\sum_{i=1}^n\varphi(i)Solution一道杜教筛裸题 有结论：（证明在这里） ∑d|nφ(d)=n\sum_{d|n}\varphi(d)=n则： ∑d=1n∑i|dφ(i)=(1+n)n2\sum_{d=1}^n\sum_{i|d}\varphi(i)=\frac{(1+n)n}{2} ∑i=1n∑j=1⌊ni⌋φ(j)=

Description定义F(n)表示最小公倍数为n的二元组的数量。 即：如果存在两个数（二元组）X，Y(X 例如：F(6) = 5，因为[2,3] [1,6] [2,6] [3,6] [6,6]的最小公倍数等于6。给出一个区间[a,b]，求最小公倍数在这个区间的不同二元组的数量。 例如：a = 4，b = 6。符合条件的二元组包括： [1,4] [2,4] [4,4] [1,5]

本文记录笔者在刷莫比乌斯反演题时遇到的奇怪套路，基础的部分自动省略。持续更新中….强行上性质题目：【51NOD 1190】 最小公倍数之和 V2题目大意：求： ∑i=ablcm(i,b)\sum_{i=a}^b lcm(i,b)本题式子可以变成这样： Ans=b∑d|b∑i=⌈ad⌉bdi[gcd(i,bd)=1]Ans=b\sum_{d|b}\sum_{i=\lce

Description设函数f(d)f(d)表示d的质因数个数，f(1)=0 求∑i=1n2f(i)\sum_{i=1}^n2^{f(i)}Solution显然，式子可以写成这样： ∑i=1n∑d|i[gcd(d,id)=1]\sum_{i=1}^n\sum_{d|i}[\gcd(d,\frac{i}{d})=1] (大家感受一下） 再变： ∑d=1n∑i=1⌊nd⌋[g

Descriptionlyk有两序列a和b。 lyk想知道存在多少对x,y，满足以下两个条件。 1：gcd(x,y)=1gcd(x,y)=1 2： abx=baya_{b_x} = b_{a_y}例如若a={1,1,1}，b={1,1,1}。那么存在7对，因为除了x=2,y=2或x=3,y=3外都满足条件。Solution51NOD的40分题我一个晚上都没搞出来我是不是可以回家种田了QwQ~很

Description已知 f(x)=∑d|xμ(d)∗df(x)=\sum_{d|x}\mu(d)*d现在请求出下面式子的值∑i=1n∑j=1nf(gcd(i,j))∗f(lcm(i,j))\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nf(\gcd(i,j))*f(lcm(i,j))由于值可能过大所以请对 109+710^9+7 取模Solution首先，f(x)f(x)是一个积性函数，这个由莫

Description商店里面有n张邮票，现在去买一张，然后老板会送若干张（至少一张）邮票。如果老板送的邮票的面值的最大公约数不是1，并且老板送的邮票和我们购买的邮票的面值最大公约数是1，那么就是一组好的邮票组合。问有多少种好的邮票组合。 样例解释： · 买第1张，送第2张； · 买第3张，送第2张； · 买第2张，送第1张； · 买

DescriptionSolution理解一下原式的意思，发现就是求有多少个数对(i,j)满足：0<i≤n , 0<j≤m0<i\leq n\ ,\ 0<j\leq m 于是Ans=m∗nmodmoAns=m*n\mod mo这个题解是假的 看题即可知用莫比乌斯反演， 把min拆开，考虑什么时候⌊ni⌋\lfloor\frac{n}{i}\rfloor会更大，这个解一个不等式就可以求出第二个循

Description求： ∑i=abμ(i)\sum_{i=a}^b\mu(i)Solution裸杜教筛 请转：杜教筛 学习小结Code#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstdlib>#include <cmath>#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)using namespace

DescriptionAns=∑i=1n∑j=1nlcm(i,j)Ans=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n lcm(i,j)Solution1设gdg_d表示gcd(i,j)\gcd(i,j)为d的倍数的lcm之和， 反演过程省略 设：Sn=(12∗(n+1)n)2S_n=(\frac{1}{2}*(n+1)n)^2 Ans=∑i=1nμ(i)i2∑d=1⌊ni⌋d∗SidAn

DescriptionSolution1一题标准的莫比乌斯反演， 变式： ans=∑i=1n∑j|igcd(i,ji)=∑i=1n∑j=1⌊ni⌋gcd(i,j)ans=\sum_{i=1}^n\sum_{j|i}gcd(i,\frac{j}{i})=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{n}{i}\rfloor}gcd(i,j) 设gcd(i,j)=d的数

Description今天的数学课上，Crash小朋友学习了最小公倍数(Least Common Multiple)。对于两个正整数a和b，LCM(a, b)表示能同时被a和b整除的最小正整数。例如，LCM(6, 8) = 24。回到家后，Crash还在想着课上学的东西，为了研究最小公倍数，他画了一张N*M的表格。每个格子里写了一个数字，其中第i行第j列的那个格子里写着数为LCM(i, j)。一个4

先上公式： ∑d|nnd∗μ(d)=φ(n)\sum_{d|n}\frac{n}{d}*\mu(d)=\varphi(n) 证明： 用莫比乌斯反演的基本性质来搞， 设f(d)=φ(d)f(d)=\varphi(d)，g(d)=dg(d)=d； 因为：（详情点这里） ∑d|nφ(d)=n\sum_{d|n}\varphi(d)=n 所以： g(n)=∑d|nf(d)g(n)=\sum_

DescriptionF(n)=∑i=1n∑j=1nφ(φ(i),φ(j))F(n)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\varphi(\varphi(i),\varphi(j)) 其中 φ\varphi 表示欧拉函数。欧拉函数ϕn 是不超过n的数中与n互质的数的数目。 φ(φ(i),φ(j))\varphi(\varphi(i),\varphi(j)) 表示i,j欧拉函数值的最大

Description求 ∑i=1n∑j=1m(gcd(i,j)为质数?1:0)\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m(\gcd(i,j)为质数?1:0) 数据组数T<=1000T<=1000 1<=M,N<=5∗1061 <= M, N <= 5 * 10^6Solution很裸的一道莫比乌斯反演题， 先保证n<=mn<=m 设fif_i表示gcd为d的倍数的数的个数 则：f

Description神炎皇乌利亚很喜欢数对，他想找到神奇的数对。 对于一个整数对(a,b)，若满足a+b<=n且a+b是ab的因子，则成为神奇的数对。请问这样的数对共有多少呢？Solution1因为(a+b)|ab(a+b)|ab， 设gcd(a,b)=k,a′=ak,b′=bkgcd(a,b)=k,a'={a\over k},b'={b\over k}， 所以k(a′+b′)|k2a′b′

Description有这样一个分数等式：1/X + 1/Y = 1/N，(X,Y,N > 0)。给出L，求有多少满足X < Y <= L的等式。 例如：L = 12，满足条件的等式有3个，分别是：1/3 + 1/6 = 1/2, 1/4 + 1/12 = 1/3, 1/6 + 1/12 = 1/4。Solution1x+1y=1n\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{

DescriptionAns=∑i=ab∑j=1ilcm(i,j)iAns=\sum_{i=a}^b\sum_{j=1}^i\frac{lcm(i,j)}{i}Solution题目要我们求的就是这个嘛： Ans=∑i=1n∑j=1ijgcd(i,j)Ans=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^i\frac{j}{\gcd(i,j)} 转化一下 Ans=∑i=1n(φ(i)∗i/2)∗

今年的GDKOI居然考了反演，还要用杜教筛，狠狠的把我骇了一条， 回来在51nod上随便点开几题看起啦像是反演的题，发现都是要用杜教筛（这RP~）， 好吧好吧，那就学杜教筛咯~杜教筛的套路有几个大家都很熟悉的式子： ∑d|nμ(d)=[n=1]\sum_{d|n}\mu(d)=[n=1] 根据这个，再写出一个式子： ∑i=1n∑d|iμ(d)=1\sum_{i=1}^n\sum_{d|i}

DescriptionSolution本题为看到gcd上反演系列， 设fdf_d表示能整除d的自然数总和， Ans=∑i=1n∑j=1mfgcd(i,j)Ans=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mf_{\gcd(i,j)} 反演的套路就不写了， Ans=∑T=1min(n,m)⌊nT⌋⌊mT⌋∑d|Tfd∗μ(Td)Ans=\sum_{T=1}^{\min(n,m)}\lflo

description栋栋有一块长方形的地，他在地上种了一种能量植物，这种植物可以采集太阳光的能量。在这些植物采集能量后，栋栋再使用一个能量汇集机器把这些植物采集到的能量汇集到一起。 栋栋的植物种得非常整齐，一共有n列，每列有m棵，植物的横竖间距都一样，因此对于每一棵植物，栋栋可以用一个坐标(x, y)来表示，其中x的范围是1至n，表示是在第x列，y的范围是1至m，表示是在第x列的第y棵。 由于能量