【51NOD 1239】欧拉函数之和

最新推荐文章于 2020-03-31 22:42:42 发布

HOWARLI

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分类专栏： # 莫比乌斯反演 # 杜教筛文章标签：欧拉函数莫比乌斯反演杜教筛

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杜教筛

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本文介绍了一道关于杜教筛算法的题目，通过数学推导给出了解决方案，并提供了具体的C++实现代码。该算法利用了数论中的一个重要性质：∑d|nφ(d)=n。复杂度为O(n^(2/3))。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

求

\sum i = 1 n φ (i)

$\sum_{i=1}^n\varphi(i)$

Solution

一道杜教筛裸题
有结论：（证明在这里）

\sum d | n φ (d) = n

$\sum_{d|n}\varphi(d)=n$

则：

\sum d = 1 n \sum i | d φ (i) = ( 1 + n ) n 2

$\sum_{d=1}^n\sum_{i|d}\varphi(i)=\frac{(1+n)n}{2}$

\sum i = 1 n \sum j = 1 ⌊ n i ⌋ φ (j) = ( 1 + n ) n 2

$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{n}{i}\rfloor}\varphi(j)=\frac{(1+n)n}{2}$

\sum i = 1 n φ (i) = ( 1 + n ) n 2 - \sum i = 2 n \sum j = 1 ⌊ n i ⌋ φ (j)

$\sum_{i=1}^n\varphi(i)=\frac{(1+n)n}{2}-\sum_{i=2}^n\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{n}{i}\rfloor}\varphi(j)$

直接上杜教筛加上哈希即可，

复杂度： $O(n^{\frac{2}{3}})$

Code

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=5000500,M=1544657,mo=1e9+7;
const LL eni=500000004;
int n;
bool prz[N];
int pr[N];
int phi[N];
int Hx[M+1][2];
int co;
int HX(LL q)
{
    int i=q%M;
    while(Hx[i][0]&&Hx[i][0]!=q)i=(i+1)%M;
    return i;
}
LL Gphi(LL q)
{
    if(q<=n)return phi[q];
    int t=HX(q);
    if(Hx[t][0])return Hx[t][1];
    Hx[t][0]=q;
    LL ans=0,i=2;
    while(i<=q)
    {
        LL ni=q/(q/i);
        ans=(ans+(ni-i+1)*Gphi(q/i))%mo;
        i=ni+1;
    }
    q%=mo;
    return Hx[t][1]=(q*(q+1)%mo*eni%mo-ans)%mo;
}
int main()
{
    n=N-10;
    phi[1]=1;
    fo(i,2,n)
    {
        if(!prz[i])pr[++pr[0]]=i,phi[i]=i-1;
        fo(j,1,pr[0])
        {
            LL t=pr[j]*i;
            if(t>n)break;
            prz[t]=1;
            phi[t]=phi[i]*pr[j];
            if(i%pr[j]==0)break;
            phi[t]=phi[i]*(pr[j]-1);
        }
    }
    fo(i,2,n)phi[i]=(phi[i]+phi[i-1])%mo;
    LL q;
    scanf("%lld",&q);
    printf("%lld\n",(Gphi(q)+mo)%mo);
    return 0;
}