【51NOD 2026】Gcd and Lcm

Description

已知 $f(x)=\sum_{d|x}\mu(d)*d$

现在请求出下面式子的值

$$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nf(\gcd(i,j))*f(lcm(i,j))$$

由于值可能过大所以请对 $10^9+7$ 取模

Solution

首先，$f(x)$是一个积性函数，这个由莫比乌斯反演的推理可知，

那么，把原来的式子换一个方式写：
设$i=\prod P_i^{a_i},j=\prod P_i^{b_i}$

$$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n(\prod f(P_i^{\min(a_i,b_i)}))*(\prod f(P_i^{\max(a_i,b_i)}))$$
即：
$$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nf(i)*f(j)$$
即：
$$(\sum_{i=1}^nf(i))^2$$
设：$ans=\sum_{i=1}^nf(i)$
继续：
$$ans=\sum_{i=1}^n\sum_{d|i}\mu(d)*d$$
$$ans=\sum_{i=1}^n\lfloor\frac{n}{i}\rfloor\mu(i)*i$$

好了，剩下的就是杜教筛版子了

Code

#include <cstdio>
#include <map>
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define Gsum(l,r) ((((LL)(l+r)*(r-l+1))>>1)%mo)
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=200500,mo=1e9+7;
int read(int &n)
{
    char ch=' ';int q=0,w=1;
    for(;(ch!='-')&&((ch<'0')||(ch>'9'));ch=getchar());
    if(ch=='-')w=-1,ch=getchar();
    for(;ch>='0' && ch<='9';ch=getchar())q=q*10+ch-48;n=q*w;return n;
}
int n;
LL ans;
int pr[N/2],mu[N+1];
bool prz[N+1];
map<int,int>Jmu;
LL Gmu(int n)
{
    if(n<=N)return mu[n];
    if(Jmu[n]!=2333&&Jmu[n])return Jmu[n];
    LL ans=0;
    for(LL nx,i=2;i<=n;i=nx+1)
    {
        nx=n/(n/i);
        ans=(ans+Gmu(n/i)*Gsum(i,nx))%mo;
    }
    ans=(1-ans+mo);
    if(ans>=mo)ans-=mo;
    return Jmu[n]=ans;
}
int main()
{
    int q,w;
    read(n);
    mu[1]=1;
    Jmu[0]=Jmu[1]=2333;
    fo(i,2,N)
    {
        Jmu[i]=2333;
        if(!prz[i])pr[++pr[0]]=i,mu[i]=-1;
        fo(j,1,pr[0])
        {
            int t=i*pr[j];
            if(t>N)break;
            prz[t]=1;
            if(i%pr[j]==0)break;
            mu[t]=-mu[i];
        }
    }
    fo(i,2,N)mu[i]=((LL)mu[i]*i+mu[i-1])%mo;
    ans=0;
    for(int i=1,nx;i<=n;i=nx+1)
    {
        nx=n/(n/i);
        ans=(ans+(LL)(n/i)*(Gmu(nx)-Gmu(i-1)))%mo;
    }
    ans=ans*ans%mo;
    ans=(ans+mo)%mo;
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}