【JZOJ 4919】神炎皇

Description

神炎皇乌利亚很喜欢数对，他想找到神奇的数对。
对于一个整数对(a,b)，若满足a+b<=n且a+b是ab的因子，则成为神奇的数对。请问这样的数对共有多少呢？

Solution1

因为$(a+b)|ab$，
设$gcd(a,b)=k,a'={a\over k},b'={b\over k}$，
所以$k(a'+b')|k^2a'b'$，
$(a'+b')|ka'b'$
所以$(a'+b')|k$
有因为$k(a'+b')<=n$
所以$(a'+b')<=\sqrt n$，
枚举$a'+b'$的值i，则两两互质的a’和b’的对数就为$\varphi(i)$
对于每个的$a',b'$，可以有的k值有$n\over i^2$，
所以

$$ans=\sum_{i=1}^{\sqrt n}\varphi(i)* {\lfloor {n\over i^2} \rfloor}$$

复杂度：$O(\sqrt n)$

Solution2

比赛的时候比较蠢，没想到是欧拉公式，
所以就用了莫比乌斯反演：
设$m=\sqrt n$

$$ans=\sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^m \lfloor{n\over (i+j)^2} \rfloor[\gcd(i,j)=1]$$

设$f_d$表示gcd为d的倍数的$\lfloor{n\over (i+j)^2} \rfloor$和

$$f_d=\sum_{i=1}^{\lfloor{m\over d}\rfloor} \sum_{j=1}^{\lfloor{m\over d}\rfloor} \lfloor{n\over (i+j)^2d^2} \rfloor$$
设 $T=i+j$，则
$$f_d=\sum_{T=2}^{2\lfloor{m\over d}\rfloor}\lfloor{n\over T^2d^2} \rfloor*\min(T-1,2m-T-1)$$
又因为当 $T>m$或 $T>\lfloor{m\over d}\rfloor$时， $\lfloor{n\over T^2d^2} \rfloor=0$，所以 $T<=m$，
$$f_d=\sum_{T=2}^{\lfloor{m\over d}\rfloor}\lfloor{n\over T^2d^2} \rfloor*(T-1)$$
再设 $g_d$表示gcd为d的 $\lfloor{n\over (i+j)^2} \rfloor$和
$$g_d=\sum_{i=1}^{\lfloor{m\over d}\rfloor}f_{id}*\mu(i)$$
$$g_d=\sum_{i=1}^{\lfloor{m\over d}\rfloor}\mu(i)*\sum_{T=2}^{\lfloor{m\over i}\rfloor}\lfloor{n\over T^2i^2} \rfloor*(T-1)$$
所以：
$$ans=g_1=\sum_{i=1}^{m}\mu(i)*\sum_{T=2}^{\lfloor{m\over i}\rfloor}\lfloor{n\over T^2i^2} \rfloor*(T-1)$$
交换主体，设 $D=Ti$，则：
$$ans=\sum_{D=2}^m \lfloor \frac{n}{D^2}\rfloor*\sum_{i|D}\mu(i)*(\frac{D}{i}-1)$$
$$g_d=\sum_{D=2}^m \lfloor \frac{n}{D^2}\rfloor*(\sum_{i|D}\mu(i)*\frac{D}{i}-\sum_{i|D}\mu(i))$$
因为 $D>1$
$$ans=\sum_{D=2}^m \lfloor \frac{n}{D^2}\rfloor*\sum_{i|D}\mu(i)*\frac{D}{i}$$
我们惊奇的发现，有性质：
$$\sum_{i|n}\mu(i)*\frac{n}{i}=\varphi(n)$$
（ 证明在这里）
所以：
$$g_d=\sum_{D=2}^m \lfloor \frac{n}{D^2}\rfloor*\varphi(D)$$

Code

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#define sqr(x) ((x)*(x))
#define fo(i,a,b) for(LL i=a;i<=b;i++)
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=1e7+10;
LL n,m,ans;
bool prz[N];
int pr[N/2],mu[N];
LL phi[N];
LL min(LL q,LL w){return q<w?q:w;}
int main()
{
    freopen("uria.in","r",stdin);
    freopen("uria.out","w",stdout);
    scanf("%lld",&n);m=sqrt(n);
    mu[1]=1;phi[1]=1;
    fo(i,2,m)
    {
        if(!prz[i])pr[++pr[0]]=i,mu[i]=-1,phi[i]=i-1;
        fo(j,1,pr[0])
        {
            int t=pr[j]*i;
            if(t>m)break;
            prz[t]=1;
            phi[t]=phi[i]*pr[j];
            if(!(i%pr[j]))break;
            mu[t]=-mu[i];
            phi[t]=phi[i]*(pr[j]-1);
        }
    }
    ans=0;
    fo(i,2,m)ans+=n/sqr(i)*phi[i];
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}