Description
神炎皇乌利亚很喜欢数对,他想找到神奇的数对。
对于一个整数对(a,b),若满足a+b<=n且a+b是ab的因子,则成为神奇的数对。请问这样的数对共有多少呢?
Solution1
因为
(a+b)|ab
,
设
gcd(a,b)=k,a′=ak,b′=bk
,
所以
k(a′+b′)|k2a′b′
,
(a′+b′)|ka′b′
所以
(a′+b′)|k
有因为
k(a′+b′)<=n
所以
(a′+b′)<=n√
,
枚举
a′+b′
的值i,则两两互质的a’和b’的对数就为
φ(i)
对于每个的
a′,b′
,可以有的k值有
ni2
,
所以
复杂度: O(n√)
Solution2
比赛的时候比较蠢,没想到是欧拉公式,
所以就用了莫比乌斯反演:
设
m=n√
设
fd
表示gcd为d的倍数的
⌊n(i+j)2⌋
和
设 T=i+j ,则
又因为当 T>m 或 T>⌊md⌋ 时, ⌊nT2d2⌋=0 ,所以 T<=m ,
再设 gd 表示gcd为d的 ⌊n(i+j)2⌋ 和
所以:
交换主体,设 D=Ti ,则:
因为 D>1
我们惊奇的发现,有性质:
( 证明在这里)
所以:
Code
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#define sqr(x) ((x)*(x))
#define fo(i,a,b) for(LL i=a;i<=b;i++)
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=1e7+10;
LL n,m,ans;
bool prz[N];
int pr[N/2],mu[N];
LL phi[N];
LL min(LL q,LL w){return q<w?q:w;}
int main()
{
freopen("uria.in","r",stdin);
freopen("uria.out","w",stdout);
scanf("%lld",&n);m=sqrt(n);
mu[1]=1;phi[1]=1;
fo(i,2,m)
{
if(!prz[i])pr[++pr[0]]=i,mu[i]=-1,phi[i]=i-1;
fo(j,1,pr[0])
{
int t=pr[j]*i;
if(t>m)break;
prz[t]=1;
phi[t]=phi[i]*pr[j];
if(!(i%pr[j]))break;
mu[t]=-mu[i];
phi[t]=phi[i]*(pr[j]-1);
}
}
ans=0;
fo(i,2,m)ans+=n/sqr(i)*phi[i];
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}