【2020杭电第九场】【HDU 6855】Absolute Math

Description

定义：$$f(x)=\sum _{d|n}|\mu (d)|$$
$$F(n,m)=\sum _{i=1}^{m}f(in)$$
答案要求
$$Ans=F(n,m)$$
$n,m\le 10^7$

Solution

显然的，$f(x)$是一个积性函数，即$f(xy)=f(x)f(y),当\gcd (x,y)=1$，
又有$f(ni)=f(n)f(i)/f(\gcd (n,i))$
可以将上试改写：
$$f(ni)=f(n)f(i)/f(\gcd (i,n))=f(n)f(i)\ast \sum _{T|n,T|i}\frac{1}{f(T)}\sum _{Td|n,Td|i}\mu (d)$$
所以
$$f(ni)=f(n)f(i)\ast \sum _{T|n,T|i}\sum _{d|T}\frac{1}{f(d)}\mu (\frac{T}{d})$$
设$g(n)={\sum }_{d|n}\frac{1}{f(d)}\mu (\frac{n}{d})$
所以
$$f(ni)=f(n)f(i)\ast \sum _{T|n,T|i}g(T)$$
所以
$$Ans=f(n)\sum _{d|n}g(d)\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{m}{d}\rfloor }f(id)=f(n)\sum _{d|n}g(d)F(d,\lfloor \frac{m}{d}\rfloor )$$

对于$g(1...n)$，我们可以在$O(n\log (n))$的时间内全部算出，

现在问题就变成了如果快速求$F(d,\lfloor \frac{m}{d}\rfloor )$，

我们考虑对于一组数据，最暴力的求法复杂度是多少（即暴力循环求和）：
${\sum }_{d=1}^n\lfloor \frac{m}{d}\rfloor \le 10^7\log (10^7)$
所有我们可以将多组询问中所有的$F(d,\lfloor \frac{m}{d}\rfloor )$全部离线，只用$O(n\log (n))$的时间便可以全部求出来，

总复杂度：$O(n\log (n)+\sum D(n))$（$D(n)$表示n的约数个数）

Code

#include <bits/stdc++.h>
#define fo(i,a,b)  for(int i=a;i<=b;++i)
#define fod(i,a,b)  for(int i=a;i>=b;--i)
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=1000500,M=10000500,mo=1e9+7;
int read(int &n)
{
	bool q=0;n=0;char ch=' ';
	for(;ch!='-'&&(ch<'0'||ch>'9');ch=getchar());
	if(ch=='-')ch=getchar(),q=1;
	for(;ch<='9'&&ch>='0';ch=getchar())n=(n<<1)+(n<<3)+ch-48;
	return q?n=-n:n;
}
int n,m,ans;
int pr[N],mu[M];
bool prz[M];
int f[M],g[M];
int er[101],er1[101];
LL Ans[N];
int a[N];
struct qqww
{
	int d,i,m;
}d[N*3];
int d0;
LL ksm(LL q,int w)
{
	LL ans=1;
	for(;w;w>>=1,q=q*q%mo)if(w&1)ans=ans*q%mo;
	return ans;	
}
void Pre(int n)
{
	mu[1]=1;
	fo(i,2,n)
	{
		if(!prz[i])pr[++pr[0]]=i,mu[i]=-1,f[i]=1;
		fo(j,1,pr[0])
		{
			int t=pr[j]*i;
			if(t>n)break;
			prz[t]=1;
			f[t]=f[i];
			if(i%pr[j]==0)break;
			f[t]=f[i]+1,mu[t]=-mu[i];
		}
	}
}
bool PX(qqww q,qqww w){return q.d<w.d||(q.d==w.d&&q.m<w.m);}
int main()
{
	int q,w,_;
	int SRT=clock();
	q=100;
	er[0]=1;fo(i,1,q)((er[i]=er[i-1]<<1)>=mo?er[i]-=mo:0);
	er1[q]=ksm(er[q],mo-2);
	fod(i,q-1,0)((er1[i]=er1[i+1]<<1)>=mo?er1[i]-=mo:0);
	Pre(1e7);
	int mx=0;
	read(_);
	fo(I,1,_)
	{
		a[I]=read(n),read(m);
		mx=max(n,mx);
		mx=max(m,mx);
		for(int i=1;i*i<=n;++i)if(n%i==0)
		{
			d[++d0].d=i;
			d[d0].m=m/i;
			d[d0].i=I;
			if(i*i==n)continue;
			d[++d0].d=n/i;
			d[d0].m=m/(n/i);
			d[d0].i=I;
		}
	}
	// cerr<<clock()-SRT<<endl;
	fo(i,1,mx)if(mu[i])
	{
		if(mu[i]<0)
		{
			for(int j=1,k=i;k<=mx;++j,k+=i)((g[k]-=er1[f[j]])<0?g[k]+=mo:0);
		}else {
			for(int j=1,k=i;k<=mx;++j,k+=i)((g[k]+=er1[f[j]])>=mo?g[k]-=mo:0);
		}
	}
	fo(i,1,mx)f[i]=er[f[i]];
	sort(d+1,d+1+d0,PX);
	LL t=0,j=1;
	// cerr<<clock()-SRT<<endl;
	fo(I,1,d0)
	{
		if(d[I].d!=d[I-1].d)t=0,j=1;
		for(;j<=d[I].m;++j)
		{
			(t+=f[j*d[I].d])>=mo?t-=mo:0;
		}
		Ans[d[I].i]=(Ans[d[I].i]+t*g[d[I].d])%mo;
	}
	fo(i,1,_)printf("%lld\n",(Ans[i]*f[a[i]])%mo);
	// cerr<<clock()-SRT<<endl;
	return 0;
}