【51NOD 1227】平均最小公倍数

本文深入探讨了一个复杂的数学问题,通过对特定公式进行转换和简化,提出了一个高效的算法解决方案,并使用了杜教筛算法进行优化,最终实现了O(n^(2/3))的时间复杂度。

摘要生成于 C知道 ,由 DeepSeek-R1 满血版支持, 前往体验 >

Description

Ans=i=abj=1ilcm(i,j)i

Solution

题目要我们求的就是这个嘛:

Ans=i=1nj=1ijgcd(i,j)

转化一下
Ans=i=1n(φ(i)i/2)ni

( 先枚举两个互质的数,再算它们的倍数)(前面有phi的括号是互质的数的和)

用杜教筛处理xi=1φ(i)i(下面的n和上面的不一样)

d=1ni|d(φ(i)i)di

d=1ndi|dφ(i)

d=1nd2

Sd=d(d+1)(2d+1)/6
回到刚才的式子,转化一下(i*j即为之前的d)
i=1nij=1niφ(j)j=Sn

i=1nφ(i)i=Sni=2nij=1niφ(j)j

回到Ans的式子,用杜教筛+分块即可

复杂度:O(n23)

Code

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=3876656,mo=1000000007,M=200397;
const LL eni=500000004,sni=166666668;
int n,n1;
bool prz[N+10];
int pr[N/2];
int phi[N+10];
int Hx[M][2];
int HX(int q)
{
    int i=q%M;
    while(Hx[i][0]&&Hx[i][0]!=q)i=(i+1)%M;
    return i;
}
LL SM(LL s,LL t){return (s+t)*(t-s+1)%mo*eni%mo;}
LL Gphi(int q)
{
    if(q<=N)return phi[q];
    int t=HX(q);
    if(Hx[t][0])return Hx[t][1];
    Hx[t][0]=q;
    LL ans=0;
    for(int i=2,nx;i<=q;i=nx+1)
    {
        nx=q/(q/i);
        ans=(ans+SM(i,nx)*Gphi(q/i)%mo)%mo;
    }
    q%=mo;
    return Hx[t][1]=(LL)q*(q+1)%mo*(2*q+1)%mo*sni%mo-ans;
}
LL Gans(int n)
{
    int ans=n%mo;
    for(int i=2,nx;i<=n;i=nx+1)
    {
        nx=n/(n/i);
        ans=(ans+(LL)(n/i)*(Gphi(nx)-Gphi(i-1))%mo*eni%mo)%mo;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    phi[1]=1;
    fo(i,2,N)
    {
        if(!prz[i])pr[++pr[0]]=i,phi[i]=i-1;
        fo(j,1,pr[0])
        {
            int t=pr[j]*i;
            if(t>N)break;
            prz[t]=1;
            phi[t]=phi[i]*pr[j];
            if(i%pr[j]==0)break;
            phi[t]=phi[i]*(pr[j]-1);
        }
    }
    fo(i,2,N)phi[i]=((LL)phi[i]*((LL)i)%mo+phi[i-1])%mo;
    scanf("%d%d",&n1,&n);
    printf("%lld\n",(Gans(n)-Gans(n1-1)+mo)%mo);
    return 0;
}
题目 51nod 3478 涉及一个矩阵问题,要求通过最少的操作次数,使得矩阵中至少有 `RowCount` 行和 `ColumnCount` 列是回文的。解决这个问题的关键在于如何高效地枚举所有可能的行和列组合,并计算每种组合所需的操作次数。 ### 解法思路 1. **预处理每一行和每一列变为回文所需的最少操作次数**: - 对于每一行,计算将其变为回文所需的最少操作次数。这可以通过比较每对对称位置的值是否相同来完成。 - 对于每一列,计算将其变为回文所需的最少操作次数,方法同上。 2. **枚举所有可能的行和列组合**: - 由于 `N` 和 `M` 的最大值为 8,因此可以枚举所有可能的行组合和列组合。 - 对于每一种组合,计算其所需的最少操作次数,并取最小值。 3. **计算操作次数**: - 对于每一种组合,需要计算哪些行和列需要修改,并且注意行和列的交叉点可能会重复计算,因此需要去重。 ### 代码实现 以下是一个可能的实现方式,使用了枚举和位运算来处理组合问题: ```python def min_operations_to_palindrome(matrix, row_count, col_count): import itertools N = len(matrix) M = len(matrix[0]) # Precompute the cost to make each row a palindrome row_cost = [] for i in range(N): cost = 0 for j in range(M // 2): if matrix[i][j] != matrix[i][M - 1 - j]: cost += 1 row_cost.append(cost) # Precompute the cost to make each column a palindrome col_cost = [] for j in range(M): cost = 0 for i in range(N // 2): if matrix[i][j] != matrix[N - 1 - i][j]: cost += 1 col_cost.append(cost) min_total_cost = float('inf') # Enumerate all combinations of rows and columns rows = list(range(N)) cols = list(range(M)) from itertools import combinations for row_comb in combinations(rows, row_count): for col_comb in combinations(cols, col_count): # Calculate the cost for this combination cost = 0 # Add row costs for r in row_comb: cost += row_cost[r] # Add column costs for c in col_comb: cost += col_cost[c] # Subtract the overlapping cells for r in row_comb: for c in col_comb: # Check if this cell is part of the palindrome calculation if r < N // 2 and c < M // 2: if matrix[r][c] != matrix[r][M - 1 - c] and matrix[N - 1 - r][c] != matrix[N - 1 - r][M - 1 - c]: cost -= 1 min_total_cost = min(min_total_cost, cost) return min_total_cost # Example usage matrix = [ [0, 1, 0], [1, 0, 1], [0, 1, 0] ] row_count = 2 col_count = 2 result = min_operations_to_palindrome(matrix, row_count, col_count) print(result) ``` ### 代码说明 - **预处理成本**:首先计算每一行和每一列变为回文所需的最少操作次数。 - **枚举组合**:使用 `itertools.combinations` 枚举所有可能的行和列组合。 - **计算成本**:对于每一种组合,计算其成本,并考虑行和列交叉点的重复计算问题。 ### 复杂度分析 - **时间复杂度**:由于 `N` 和 `M` 的最大值为 8,因此枚举所有组合的时间复杂度为 $ O(N^{RowCount} \times M^{ColCount}) $,这在实际中是可接受的。 - **空间复杂度**:主要是存储预处理的成本,空间复杂度为 $ O(N + M) $。 ### 相关问题 1. 如何优化矩阵中行和列的枚举组合以减少计算时间? 2. 在计算行和列的交叉点时,如何更高效地处理重复计算的问题? 3. 如果矩阵的大小增加到更大的范围,如何调整算法以保持效率? 4. 如何处理矩阵中行和列的回文条件不同时的情况? 5. 如何扩展算法以支持更多的操作类型,例如翻转某个区域的值?
评论
添加红包

请填写红包祝福语或标题

红包个数最小为10个

红包金额最低5元

当前余额3.43前往充值 >
需支付:10.00
成就一亿技术人!
领取后你会自动成为博主和红包主的粉丝 规则
hope_wisdom
发出的红包
实付
使用余额支付
点击重新获取
扫码支付
钱包余额 0

抵扣说明:

1.余额是钱包充值的虚拟货币,按照1:1的比例进行支付金额的抵扣。
2.余额无法直接购买下载,可以购买VIP、付费专栏及课程。

余额充值