【51NOD 1227】平均最小公倍数

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#杜教筛 #欧拉函数 #莫比乌斯反演

莫比乌斯反演同时被 2 个专栏收录

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杜教筛

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本文深入探讨了一个复杂的数学问题，通过对特定公式进行转换和简化，提出了一个高效的算法解决方案，并使用了杜教筛算法进行优化，最终实现了O(n^(2/3))的时间复杂度。

Description

A n s = \sum i = a b \sum j = 1 i l c m ( i , j ) i

$Ans=\sum_{i=a}^b\sum_{j=1}^i\frac{lcm(i,j)}{i}$

Solution

题目要我们求的就是这个嘛：

A n s = \sum i = 1 n \sum j = 1 i j gcd ( i , j )

$Ans=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^i\frac{j}{\gcd(i,j)}$
转化一下

A n s = \sum i = 1 n (φ (i) * i / 2) * ⌊ n i ⌋

$Ans=\sum_{i=1}^n(\varphi(i)*i/2)*\lfloor\frac{n}{i}\rfloor$
（先枚举两个互质的数，再算它们的倍数）（前面有phi的括号是互质的数的和）

用杜教筛处理 $\sum_{i=1}^x\varphi(i)*i$ （下面的n和上面的不一样）

\sum d = 1 n \sum i | d (φ (i) * i) * d i

$\sum_{d=1}^n\sum_{i|d}(\varphi(i)*i)*\frac{d}{i}$

\sum d = 1 n d * \sum i | d φ (i)

$\sum_{d=1}^nd*\sum_{i|d}\varphi(i)$

\sum d = 1 n d 2

$\sum_{d=1}^nd^2$
设

Sd=d∗(d+1)∗(2∗d+1)/6 $S_d=d*(d+1)*(2*d+1)/6$
回到刚才的式子，转化一下(i*j即为之前的d)

\sum i = 1 n i * \sum j = 1 ⌊ n i ⌋ φ (j) * j = S n

$\sum_{i=1}^ni*\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{n}{i}\rfloor}\varphi(j)*j=S_n$

\sum i = 1 n φ (i) * i = S n - \sum i = 2 n i * \sum j = 1 ⌊ n i ⌋ φ (j) * j

$\sum_{i=1}^n\varphi(i)*i=S_n-\sum_{i=2}^ni*\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{n}{i}\rfloor}\varphi(j)*j$

回到Ans的式子，用杜教筛+分块即可

复杂度： $O(n^{\frac{2}{3}})$

Code

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=3876656,mo=1000000007,M=200397;
const LL eni=500000004,sni=166666668;
int n,n1;
bool prz[N+10];
int pr[N/2];
int phi[N+10];
int Hx[M][2];
int HX(int q)
{
    int i=q%M;
    while(Hx[i][0]&&Hx[i][0]!=q)i=(i+1)%M;
    return i;
}
LL SM(LL s,LL t){return (s+t)*(t-s+1)%mo*eni%mo;}
LL Gphi(int q)
{
    if(q<=N)return phi[q];
    int t=HX(q);
    if(Hx[t][0])return Hx[t][1];
    Hx[t][0]=q;
    LL ans=0;
    for(int i=2,nx;i<=q;i=nx+1)
    {
        nx=q/(q/i);
        ans=(ans+SM(i,nx)*Gphi(q/i)%mo)%mo;
    }
    q%=mo;
    return Hx[t][1]=(LL)q*(q+1)%mo*(2*q+1)%mo*sni%mo-ans;
}
LL Gans(int n)
{
    int ans=n%mo;
    for(int i=2,nx;i<=n;i=nx+1)
    {
        nx=n/(n/i);
        ans=(ans+(LL)(n/i)*(Gphi(nx)-Gphi(i-1))%mo*eni%mo)%mo;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    phi[1]=1;
    fo(i,2,N)
    {
        if(!prz[i])pr[++pr[0]]=i,phi[i]=i-1;
        fo(j,1,pr[0])
        {
            int t=pr[j]*i;
            if(t>N)break;
            prz[t]=1;
            phi[t]=phi[i]*pr[j];
            if(i%pr[j]==0)break;
            phi[t]=phi[i]*(pr[j]-1);
        }
    }
    fo(i,2,N)phi[i]=((LL)phi[i]*((LL)i)%mo+phi[i-1])%mo;
    scanf("%d%d",&n1,&n);
    printf("%lld\n",(Gans(n)-Gans(n1-1)+mo)%mo);
    return 0;
}