扩展欧几里得算法及其应用——学习(复习)笔记

推导过程

$$\\求\ ax+by=gcd(a,b) \\设已递归求得x',y'满足：\ bx'+(a\%b)y'=gcd(b,a\%b) = ax+by \\bx'+(a-a/b*b)y'=ax+by \\bx'+ay'-b(a/b)y'=ax+by \\a(y'-x)+b(x'-(a/b)y'-y)=0 \\x=y'\quad y=x'-(a/b)y' \\ b=0\ 时，ax=a，\quad 取\ x=1,y=0$$

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应用

解不定方程 $ax+by=m$ :
有解需满足 $gcd(a,b)|m$。
$a'=a/gcd(a,b),\quad b'=b/gcd(a,b),m'=m/gcd(a,b)$
现在我们要求 $a'x+b'y=m'$。
先用 $exgcd$ 解出 $a'x+b'y=gcd(a',b')=1$ 的一组解 $x',y'$ ,
其他解都可表示为 $x=x'+tb',\quad y=y'-ta', \quad t \in Z$
将其都乘 $m/gcd(a,b)$ 就是原方程的解。

求单个数的逆元：
$aa^{-1} \equiv 1 \pmod m \Leftrightarrow aa^{-1}-km=1$

解模数不互质的线性方程组：
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