中国剩余定理及其扩展——学习(复习)笔记

普通的中国剩余定理很简单，大概就是个简单的构造

$$x \equiv a_1 \pmod{m_1} \\ x \equiv a_2 \pmod{m_2} \\ x \equiv a_3 \pmod{m_3} \\ ...\\ x\equiv \sum_i a_iM_iM_i^{-1}\pmod M$$
其中 $M=\prod_i m_i,\quad M_i=M/m_i,\quad M_iM_i^{-1}\equiv1 \pmod{m_i}$
这个需要满足 $m_i$ 两两互质，比较局限。
如果不互质其实也可以做，考虑两两合并：
$$x \equiv a_1 \pmod{m_1} \quad x \equiv a_2 \pmod{m_2} \\ x=a_1+k_1m_1=a_2+k_2m_2 \\ k_1m_1-k_2m_2=a_2-a_1$$
用扩欧解出 $k_1,k_2$ 的最小正整数解，得到 $x$ 的最小正整数解 $x'$,方程就合并为
$$x \equiv x' \pmod{lcm(m_1,m_2)}$$

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