[数学杂题] LibreOJ#532. 「LibreOJ β Round #5」随机数列_libreoj β round #5 随机数列-优快云博客

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$X_i$ 的取值一共就 $C$ 种，所以数列一定存在环，数列长度没影响，对于每个数字，我们都能方便算出他在 $L,R$ 出现了几次。
现在我们的目标就是算出：

\sum x 1 = 1 C \sum x 2 = 1 C c n t [x 1] * c n t [x 2] * ⌈ x 1 x 2 + x 2 x 1 ⌉

$\sum_{x1=1}^C\sum_{x2=1}^C cnt[x1]*cnt[x2]* \lceil \frac {x1} {x2}+ \frac {x2} {x1}\rceil$
设

f(x1,x2)=x1x2+x2x1 $f(x1,x2)=\frac {x1} {x2}+ \frac {x2} {x1}$ 考虑一下

f $f$ 的范围，就是个对钩函数，且x只能取整数，所以最大值为只是

c+1 $c+1$ ，说明有很多对

x1,x2 $x1,x2$ 的

f $f$ 都是相同的。

= \sum x = 1 C c n t 1 [x] * c n t 2 [x] * f (x, x) + \sum x 1 = 1 C \sum k = 2 (C + 1) / x 1 (c n t [x 1] * (\sum [f (x 1, x 2) = k] c n t [x 2]) + c n t [x 2] * (\sum [f (x 1, x 2) = k] c n t [x 1]))

$=\sum_{x=1}^C cnt1[x]*cnt2[x]*f(x,x)+\sum_{x1=1}^C \sum_{k=2}^{(C+1)/x1} \Bigl( cnt[x1]*(\sum_{[f(x1,x2)=k]}cnt[x2])+cnt[x2]*(\sum_{[f(x1,x2)=k]}cnt[x1]) \Bigr)$

∑[f(x1,x2)=k]cnt[x2] $\sum_{[f(x1,x2)=k]} cnt[x2]$ 这样的东西可以预处理前缀和+解方程

O(1) $O(1)$ 求。
然后因为

(C+1)/x1 $(C+1)/x1$ ,所以直接枚举一个x和k就好了，由于调和级数所以

O(ClogC) $O(C log C)$

代码能力还不够….打的时候很多小问题…

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int maxn=1000015, MOD=1e9+7;
int n;
LL _A,_B,_C,a[maxn],L1,R1,L2,R2,sum1[maxn],sum2[maxn],ans;
int pos[maxn],pos_b;
bool in_c[maxn];
inline LL Calc(LL L,LL R,int val){
    if(!pos[val]) return 0;
    if(!in_c[val]) return L<=pos[val];
    LL res=0;
    if(R>pos_b) res+=(R-pos_b)/(n-pos_b)+(pos[val]-pos_b<=(R-pos_b)%(n-pos_b));
    if(L-1>pos_b) res-=(L-1-pos_b)/(n-pos_b)+(pos[val]-pos_b<=(L-1-pos_b)%(n-pos_b));
    return res%MOD;
}
void Pre(){
    for(n=1;;n++){
        a[n]=(a[n-1]*_A+_B)%_C+1;
        if(pos[a[n]]) break; pos[a[n]]=n;
    }
    pos_b=pos[a[n--]]-1;
    for(int i=pos_b+1;i<=n;i++) in_c[a[i]]=true;
    for(int i=1;i<=_C;i++) sum1[i]=(Calc(L1,R1,i)+sum1[i-1])%MOD;
    for(int i=1;i<=_C;i++) sum2[i]=(Calc(L2,R2,i)+sum2[i-1])%MOD;
}
inline int f(double x,double y){ return ceil(x/y+y/x); }
inline int get(double x,double k){ return min(_C,(LL)floor(x*(k+sqrt(k*k-4))/2));}
int main(){
    freopen("loj532.in","r",stdin);
    freopen("loj532.out","w",stdout);
    scanf("%lld%lld%lld%lld%lld%lld%lld%lld",&_A,&_B,&_C,&a[0],&L1,&R1,&L2,&R2);
    Pre();
    for(int i=1;i<=_C;i++) (ans+=(sum1[i]-sum1[i-1])%MOD*((sum2[i]-sum2[i-1])%MOD)%MOD*2%MOD)%=MOD;
    for(int x=1;x<=_C;x++){
        for(int k=3,lst=get(x,2);k<=_C+1;k++){
            int t=get(x,k);
            (ans+=((sum1[t]-sum1[lst])*(sum2[x]-sum2[x-1])%MOD+(sum2[t]-sum2[lst])*(sum1[x]-sum1[x-1])%MOD)%MOD*k%MOD)%=MOD;
            if(t==_C) break; lst=t;
        }
    }
    printf("%d\n",(ans+MOD)%MOD);
    return 0;
}