[杜教筛+莫比乌斯反演] 51Nod1238: 最小公倍数之和 V3

最新推荐文章于 2021-04-13 18:10:00 发布

原创最新推荐文章于 2021-04-13 18:10:00 发布 · 817 阅读

1 ·

CC 4.0 BY-SA版权

102 篇文章

订阅专栏

莫比乌斯反演

14 篇文章

订阅专栏

杜教筛

6 篇文章

订阅专栏

本文探讨了一个数论求和问题，目标是求解特定形式的数学表达式的总和。通过对原始表达式的转换和利用数论中的反演技巧，文章详细展示了如何将问题转化为易于计算的形式，并最终给出了一种高效的解决方案。

题意

求 $\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n lcm(i,j)$
$n \le 10^{10}$

题解

自己推到后面就不会了，然后去找题解……
大概就是

\sum i = 1 n \sum j = 1 n i j g c d ( i , j ) = \sum d = 1 n \sum i = 1 ⌊ n d ⌋ \sum j = 1 ⌊ n d ⌋ [g c d (i, j) = 1] i * j * d 2 d

$\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \frac{ij}{gcd(i,j)}=\sum_{d=1}^n \sum_{i=1}^{\lfloor \frac n d \rfloor} \sum_{j=1}^{\lfloor \frac n d \rfloor} [gcd(i,j)=1]\frac {i*j*d^2} d$
反演一下：

= \sum d = 1 n \sum i = 1 ⌊ n d ⌋ \sum j = 1 ⌊ n d ⌋ i * j * d \sum k | g c d (i, j) μ (k) = \sum k = 1 n \sum d = 1 n \sum k | i ⌊ n d ⌋ \sum k | j ⌊ n d ⌋ i * j * d * μ (k)

$=\sum_{d=1}^n\sum_{i=1}^{\lfloor \frac n d \rfloor} \sum_{j=1}^{\lfloor \frac n d \rfloor} i*j*d \sum_{k|gcd(i,j)}\mu(k)=\sum_{k=1}^n \sum_{d=1}^n \sum_{k|i}^{\lfloor \frac n d \rfloor} \sum_{k|j}^{\lfloor \frac n d \rfloor} i*j*d*\mu(k)$

= \sum k = 1 n \sum d = 1 n \sum i = 1 ⌊ n d k ⌋ \sum j = 1 ⌊ n d k ⌋ i k * j k * d * μ (k)

$=\sum_{k=1}^n \sum_{d=1}^n \sum_{i=1}^{\lfloor \frac n {dk}\rfloor} \sum_{j=1}^{\lfloor \frac n {dk} \rfloor} ik*jk*d*\mu(k)$
设

T=dk $T=dk$ :

= \sum T = 1 n \sum d | T (T d) 2 * d * μ (T d) \sum i = 1 ⌊ n T ⌋ \sum j = 1 ⌊ n T ⌋ i * j = \sum T = 1 n (( ⌊ n T ⌋ + 1 ) * ⌊ n T ⌋ 2) 2 T \sum d | T μ (d) * d

$=\sum_{T=1}^n \sum_{d|T} (\frac T d)^2*d*\mu(\frac T d) \sum_{i=1}^{\lfloor \frac n T \rfloor} \sum_{j=1}^{\lfloor \frac n T \rfloor} i*j=\sum_{T=1}^n(\frac{(\lfloor \frac n T \rfloor+1)*\lfloor \frac n T \rfloor}{2})^2 T \sum_{d|T} \mu(d)*d$
现在考虑如何求

f(T)=T∑d|Tμ(d)∗d $f(T)= T \sum_{d|T} \mu(d)*d$ 的前缀和：

\sum i = 1 n f (i) = \sum i = 1 n i \sum d | i μ (d) * d = \sum d = 1 n \sum i = 1 ⌊ n d ⌋ μ (d) * d * i * d = \sum d = 1 n μ (d) * d 2 \sum i = 1 ⌊ n d ⌋ i = \sum d = 1 n ( 1 + ⌊ n d ⌋ ) * ⌊ n d ⌋ 2 μ (d) * d 2

$\sum_{i=1}^n f(i)=\sum_{i=1}^n i \sum_{d|i} \mu(d)*d=\sum_{d=1}^n \sum_{i=1}^{\lfloor \frac n d \rfloor} \mu(d)*d*i*d=\sum_{d=1}^n \mu(d)*d^2\sum_{i=1}^{{\lfloor \frac n d \rfloor} }i=\sum_{d=1}^n \frac{(1+\lfloor \frac n d \rfloor)*\lfloor \frac n d \rfloor}{2} \mu(d)*d^2$
在考虑求