狄利克雷卷积+莫比乌斯反演+杜教筛

最新推荐文章于 2021-12-30 21:46:48 发布

Wtothey

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分类专栏：数论

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本文介绍了数论中重要的概念和方法，包括狄利克雷卷积的性质，如封闭性、结合律、逆元和幺元，以及它的特殊卷积。接着讲解了莫比乌斯反演的理论和应用，如约数反演和倍数反演，并提供了相关证明。此外，还探讨了数论分块的优化技巧和杜教筛算法，用于在低于线性时间复杂度内求解积性函数的前缀和。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

狄利克雷卷积

$f*g(n)=\sum_{d\mid n}f(d)g(\frac{n}{d})$

狄利克雷卷积与数论函数构成群，四个性质：

封闭性

结合律

逆元

幺元

特殊卷积

$\mu *1(n)=\sum_{d\mid n}\mu(d) = \epsilon (n)$ ，互为逆元

$\varphi *1(n)=Id(n)$

$Id*\mu(n)=\varphi(n)$

$d(n)=1*1(n)$

莫比乌斯反演

欧拉函数+莫比乌斯函数点这里

约数反演

定义：

$F(n)=\sum_{d\mid n} f(d) = f*1(n)$

反演：

$f(n)=\mu*F(n)=\sum_{d\mid n}F(d)\mu(\frac{n}{d})$

证明：（狄利克雷卷积）

$F(n)=f*1(n)\Rightarrow F*\mu(n)= f (n)$

$f(n)=F*\mu(n)=\sum_{d\mid n} F(d)\mu(\frac{n}{d})$

倍数反演

定义：

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