[莫队] BZOJ2038: [2009国家集训队]小Z的袜子(hose)

最新推荐文章于 2019-06-28 11:42:37 发布

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本文解析了一道经典的莫队算法模板题，介绍了如何利用莫队算法高效地解决区间概率计算问题。通过具体实例展示了算法的实现过程，并给出了完整的代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意

给出n个数字m次询问，每次询问在区间 $[li,ri][li,ri]$ 之间任选两个数字相等的概率是多少.（n,q<=50000）

题解

莫队模板题。
所谓莫队其实就是个高逼格的暴力，想法特别简单，不赘述了。
对于这题，我们设sum[i]表示区间[L,R]中i出现次数，则概率为：

\sum C ( s u m [ k ] , 2 ) C ( R - L + 1 , 2 )

$\frac{\sum C(sum[k],2)}{C(R-L+1,2)}$
由于

C(n,2)=n∗(n−1)/2=(n2∗n)/2 $C(n,2)=n*(n-1)/2=(n^2*n)/2$
所以可以改写为

= \sum s u m [ k ] 2 - \sum s u m [ k ] ( R - L + 1 ) * ( R - L ) = \sum s u m [ k ] 2 - ( R - L + 1 ) ( R - L + 1 ) * ( R - L )

$=\frac{\sum sum[k]^2-\sum sum[k] }{(R-L+1)*(R-L)}= \frac{\sum sum[k]^2-(R-L+1) }{(R-L+1)*(R-L)}$
所以对于每个询问只要求出对应区间的

∑sum[k]2 $\sum sum[k]^2$ 即可。
发现如果每次只添加或删除一个元素产生的改动很小，O(1)即可维护。所以就直接上莫队了。
复杂度

O(nn−−√) $O(n\sqrt n)$

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define sqr(x) ((x)*(x))
using namespace std;
const int maxn=50005;
typedef long long LL;
int n,m,a[maxn],pos[maxn],blk,sum[maxn];
LL ans;
struct data{ int L,R,id; LL res; } q[maxn];
bool cmp1(data A,data B){
    if(pos[A.L]==pos[B.L]) return A.R<B.R;
    return A.L<B.L;
}
bool cmp2(data A,data B){ return A.id<B.id; }
void Update(int x,int k){ ans-=sqr(sum[a[x]]); sum[a[x]]+=k; ans+=sqr(sum[a[x]]); }

LL gcd(LL x,LL y){ return y==0?x:gcd(y,x%y); }
int main(){
    freopen("bzoj2038.in","r",stdin);
    freopen("bzoj2038.out","w",stdout);
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
    for(int i=1;i<=m;i++) scanf("%d%d",&q[i].L,&q[i].R), q[i].id=i;
    blk=sqrt(n); for(int i=1;i<=n;i++) pos[i]=(i-1)/blk+1;
    sort(q+1,q+1+m,cmp1);
    Update(1,1);
    for(int i=1,L=1,R=1,res=0;i<=m;i++){
        for(;R<q[i].R;R++) Update(R+1,1);
        for(;q[i].R<R;R--) Update(R,-1);
        for(;L<q[i].L;L++) Update(L,-1);
        for(;q[i].L<L;L--) Update(L-1,1);
        q[i].res=q[i].L==q[i].R?0:ans;
    }
    sort(q+1,q+1+m,cmp2);
    for(int i=1;i<=m;i++){
        if(q[i].res==0){ printf("0/1\n"); continue; }
        LL res1=(q[i].res-(q[i].R-q[i].L+1))/2, res2=((LL)q[i].R-q[i].L+1)*(q[i].R-q[i].L)/2, _gcd=gcd(res1,res2);
        printf("%lld/%lld\n",res1/_gcd,res2/_gcd);
    }
    return 0;
}