[估算] 1011: [HNOI2008]遥远的行星

最新推荐文章于 2019-08-27 21:25:00 发布

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本文介绍了一种估算直线上行星间相互作用力的高效算法。考虑到计算精度要求不高，通过使用前缀和与平均数估算的方法，在O(n)的时间复杂度内得到每颗行星所受力的近似值。

题意

直线上N颗行星，X=i处有行星i。行星J受到行星I的作用力，当且仅当i<=A*J.此时J受到作用力的大小为 Fi->j=Mi*Mj/(j-i) 其中A为很小的常量，故直观上说每颗行星都只受到距离遥远的行星的作用。请计算每颗行星的受力，只要结果的相对误差不超过5%即可。
n<=100000

题解

第一次见到这种神奇的题目。如果要算精确值好像只能O(n^2)，但该题不要求输出精确的答案，只要用好一点的方法估算即可。
对于每个i，会受到星球1~ $\lfloor i*A \rfloor$ 给它的力。
记now= $\lfloor i*A \rfloor$ 则总的受力为： $M[i]*\sum_{j=1}^{now} M[j]/(i-j)$
如果now比较小，直接循环跑出结果,但是太大就会超时了，我们求下前缀和，把分母改取平均数估算： $M[i]*sum_M[now]/(i-(1+[now])/2)$
对于now大小的标准值，取2000左右比较合适。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=100005, MAX=2000;
const double eps=1e-6;
int n;
double K,w[maxn],sum[maxn];

int main(){
    scanf("%d%lf",&n,&K);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lf",&w[i]), sum[i]=sum[i-1]+w[i];
    int now=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        while(now+1<=K*i+eps) now++;
        double res=0;
        if(now<=MAX){
            for(int j=1;j<=now;j++) res+=w[j]/(i-j);
            res*=w[i];
        } else res=w[i]*sum[now]/(i-(now+1)/2.0);
        printf("%.7lf\n",res);
    }
    return 0;
}